Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Dạng toán: Đếm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện

Phương pháp giải: Để giải bài toán đếm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện (chẵn, lẻ, chia hết, …), ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{a_1a_2…a_n}$ (với $a_1 \neq 0$).
• Bước 2: Phân tích các điều kiện của bài toán (ví dụ: số chẵn thì chữ số tận cùng phải là số chẵn).
• Bước 3: Ưu tiên chọn các chữ số có nhiều điều kiện ràng buộc nhất trước (như chữ số tận cùng, hoặc chữ số đứng đầu). Đặc biệt, nếu tập nguồn có chứa số 0, cần chia trường hợp chữ số tận cùng bằng 0 và khác 0.
• Bước 4: Áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn.

Đề bài

Bài toán: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải chi tiết

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{abcd}$, trong đó $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$; $a \neq 0$ và $a, b, c, d$ đôi một khác nhau.

Vì $\overline{abcd}$ là số chẵn nên chữ số tận cùng $d \in \{0, 2, 4, 6\}$. Do tập hợp các chữ số có chứa số 0, ta cần chia làm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $d = 0$

• Chọn $d = 0$: Có 1 cách chọn.
• Chọn 3 chữ số $a, b, c$ từ 6 chữ số còn lại (1, 2, 3, 4, 5, 6) và xếp vào 3 vị trí đầu: Có $A_6^3 = 120$ cách.
• Vậy TH1 có: $1 \times 120 = 120$ (số).

Trường hợp 2: $d \in \{2, 4, 6\}$

• Chọn $d \in \{2, 4, 6\}$: Có 3 cách chọn.
• Chọn chữ số $a$ ($a \neq 0$ và $a \neq d$): Có 5 cách chọn.
• Chọn 2 chữ số $b, c$ từ 5 chữ số còn lại và xếp vào 2 vị trí giữa: Có $A_5^2 = 20$ cách.
• Vậy TH2 có: $3 \times 5 \times 20 = 300$ (số).

Kết luận: Áp dụng quy tắc cộng, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $120 + 300 = 420$ (số).

Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 400?

Bài 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Gọi số có dạng $\overline{abc}$. $c \in \{2, 4, 6\}$ (3 cách). Chọn $a, b$: $A_5^2 = 20$ cách. Tổng: $3 \times 20 = 60$ số.

Bài 2: Gọi số có dạng $\overline{abcd}$. $d \in \{1, 3, 5\}$ (3 cách). Chọn $a \neq 0, a \neq d$ (4 cách). Chọn $b, c$: $A_4^2 = 12$ cách. Tổng: $3 \times 4 \times 12 = 144$ số.

Bài 3: Gọi số có dạng $\overline{abcde}$. Chọn $a \neq 0$ (9 cách). Chọn $b, c, d, e$: $A_9^4 = 3024$ cách. Tổng: $9 \times 3024 = 27216$ số.

Bài 4: Gọi số có dạng $\overline{abc} < 400 \Rightarrow a \in \{1, 2, 3\}$ (3 cách). Chọn $b, c$: $A_4^2 = 12$ cách. Tổng: $3 \times 12 = 36$ số.

Bài 5: Gọi số có dạng $\overline{abc}$ chẵn. TH1: $c=0$ (1 cách), $a,b$ có $A_5^2 = 20$ cách. TH2: $c \in \{2, 4\}$ (2 cách), $a \neq 0, a \neq c$ (4 cách), $b$ (4 cách), tổng TH2: $2 \times 4 \times 4 = 32$. Cả hai TH: $20 + 32 = 52$ số.