Dạng toán: Xác suất có điều kiện – Công thức Bayes (Vận dụng cao)
Bài toán tìm kiếm cứu nạn là một trong những ứng dụng kinh điển và thực tế nhất của Xác suất có điều kiện và Công thức Bayes. Đây là dạng toán vận dụng cao, yêu cầu học sinh phải xác định đúng hệ biến cố đầy đủ và phân tích được bản chất của xác suất hậu nghiệm (xác suất sau khi đã có thêm thông tin).
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi hệ biến cố đầy đủ $H_1, H_2, …, H_n$ tương ứng với các trường hợp có thể xảy ra ban đầu (không gian mẫu ban đầu).
- Bước 2: Gọi biến cố $A$ là sự kiện đã xảy ra (thông tin mới nhận được). Tính xác suất toàn phần của $A$: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i).P(A|H_i)$.
- Bước 3: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện cần tìm: $P(H_k|A) = \frac{P(H_k).P(A|H_k)}{P(A)}$.
Đề bài:
Một máy bay mất tích được dự đoán nằm ở một trong 3 vùng $A$, $B$, $C$ với xác suất như nhau. Đội cứu hộ tiến hành tìm kiếm ở vùng $A$. Biết rằng nếu máy bay thực sự nằm ở vùng $A$ thì xác suất đội cứu hộ tìm thấy nó là $0,6$. Giả sử đội cứu hộ đã tìm kiếm khắp vùng $A$ nhưng không tìm thấy máy bay. Tính xác suất để máy bay thực sự vẫn đang nằm ở vùng $A$.
Lời giải chi tiết:
Gọi $H_1, H_2, H_3$ lần lượt là các biến cố: “Máy bay nằm ở vùng $A$”, “Máy bay nằm ở vùng $B$” và “Máy bay nằm ở vùng $C$”.
Theo giả thiết, ta có: $P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$.
Gọi $F$ là biến cố: “Tìm thấy máy bay ở vùng $A$”. Suy ra $\overline{F}$ là biến cố: “Không tìm thấy máy bay ở vùng $A$”. Bài toán yêu cầu tính $P(H_1 | \overline{F})$.
Ta cần tính các xác suất có điều kiện sau:
- Nếu máy bay ở vùng $A$ ($H_1$ xảy ra), xác suất không tìm thấy là: $P(\overline{F}|H_1) = 1 – 0,6 = 0,4$.
- Nếu máy bay ở vùng $B$ ($H_2$ xảy ra), việc tìm ở vùng $A$ chắc chắn sẽ không thấy: $P(\overline{F}|H_2) = 1$.
- Nếu máy bay ở vùng $C$ ($H_3$ xảy ra), việc tìm ở vùng $A$ chắc chắn sẽ không thấy: $P(\overline{F}|H_3) = 1$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để tìm ở vùng $A$ mà không thấy máy bay là:
$P(\overline{F}) = P(H_1).P(\overline{F}|H_1) + P(H_2).P(\overline{F}|H_2) + P(H_3).P(\overline{F}|H_3)$
$P(\overline{F}) = \frac{1}{3}.0,4 + \frac{1}{3}.1 + \frac{1}{3}.1 = \frac{2,4}{3} = 0,8$.
Áp dụng công thức Bayes, xác suất máy bay vẫn nằm ở vùng $A$ biết rằng đã tìm ở $A$ mà không thấy là:
$P(H_1 | \overline{F}) = \frac{P(H_1).P(\overline{F}|H_1)}{P(\overline{F})} = \frac{\frac{1}{3}.0,4}{0,8} = \frac{0,4}{2,4} = \frac{1}{6}$.
Kết luận: Xác suất máy bay vẫn nằm ở vùng $A$ là $\frac{1}{6}$ (giảm xuống so với ban đầu là $\frac{1}{3}$ do việc tìm kiếm không thành công đã làm giảm niềm tin vào giả thuyết này).
—
5 Bài tập tự luyện tương tự (Vận dụng cao)
Bài 1: Một học sinh làm bài thi trắc nghiệm. Xác suất học sinh đó biết làm một câu hỏi là $0,8$. Nếu biết làm, học sinh sẽ chọn đúng (xác suất $1$). Nếu không biết làm, học sinh sẽ chọn ngẫu nhiên một trong $4$ phương án (xác suất đúng là $0,25$). Biết rằng học sinh đó đã chọn đúng đáp án của câu hỏi này. Tính xác suất để học sinh đó thực sự biết làm câu hỏi đó.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $K$ là biến cố “Biết làm”, $\overline{K}$ là “Không biết làm”. $P(K) = 0,8; P(\overline{K}) = 0,2$.
Gọi $D$ là biến cố “Chọn đúng”. Ta có $P(D|K) = 1$ và $P(D|\overline{K}) = 0,25$.
$P(D) = 0,8.1 + 0,2.0,25 = 0,8 + 0,05 = 0,85$.
Cần tính: $P(K|D) = \frac{0,8.1}{0,85} = \frac{80}{85} = \frac{16}{17}$.
Bài 2: Một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất $40\%$ sản lượng, phân xưởng II sản xuất $60\%$ sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng I và II lần lượt là $3\%$ và $2\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $H_1, H_2$ là biến cố SP do xưởng I, II sản xuất. $P(H_1) = 0,4; P(H_2) = 0,6$.
Gọi $A$ là biến cố “Sản phẩm là phế phẩm”. $P(A|H_1) = 0,03; P(A|H_2) = 0,02$.
$P(A) = 0,4.0,03 + 0,6.0,02 = 0,012 + 0,012 = 0,024$.
Xác suất cần tìm: $P(H_1|A) = \frac{0,4.0,03}{0,024} = \frac{0,012}{0,024} = 0,5$.
Bài 3: Một hệ thống lọc email nhận thấy $60\%$ số email nhận được là thư rác (spam). Hệ thống có khả năng nhận diện chính xác thư rác với xác suất $95\%$, nhưng cũng nhận diện nhầm email bình thường thành thư rác với xác suất $2\%$. Một email vừa bị hệ thống đánh dấu là thư rác. Tính xác suất để email đó thực sự là thư rác.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $S$ là email thực sự là rác ($P(S) = 0,6$), $N$ là email bình thường ($P(N) = 0,4$).
Gọi $D$ là biến cố email bị đánh dấu là rác. $P(D|S) = 0,95; P(D|N) = 0,02$.
$P(D) = 0,6.0,95 + 0,4.0,02 = 0,57 + 0,008 = 0,578$.
Xác suất cần tìm: $P(S|D) = \frac{0,6.0,95}{0,578} = \frac{0,57}{0,578} = \frac{285}{289} \approx 0,986$.
Bài 4: Tỉ lệ người mắc một bệnh hiểm nghèo trong cộng đồng là $0,1\%$. Một phương pháp xét nghiệm có tỉ lệ phát hiện đúng người mắc bệnh là $99\%$, nhưng cũng có tỉ lệ dương tính giả (người khỏe mạnh nhưng kết quả xét nghiệm dương tính) là $1\%$. Một người đi xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Tính xác suất để người này thực sự mắc bệnh.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $B$ là mắc bệnh ($P(B) = 0,001$), $K$ là khỏe mạnh ($P(K) = 0,999$).
Gọi $D$ là xét nghiệm dương tính. $P(D|B) = 0,99; P(D|K) = 0,01$.
$P(D) = 0,001.0,99 + 0,999.0,01 = 0,00099 + 0,00999 = 0,01098$.
Xác suất thực sự mắc bệnh: $P(B|D) = \frac{0,00099}{0,01098} = \frac{99}{1098} = \frac{11}{122} \approx 0,09$ (chỉ khoảng $9\%$).
Bài 5: Có hai xạ thủ. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ 1 là $0,7$ và của xạ thủ 2 là $0,8$. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và người đó bắn đúng 1 viên đạn. Kết quả viên đạn trúng bia. Tính xác suất để viên đạn đó do xạ thủ 2 bắn.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $X_1, X_2$ là biến cố chọn được xạ thủ 1, 2. $P(X_1) = P(X_2) = 0,5$.
Gọi $T$ là biến cố bắn trúng. $P(T|X_1) = 0,7; P(T|X_2) = 0,8$.
$P(T) = 0,5.0,7 + 0,5.0,8 = 0,35 + 0,4 = 0,75$.
Xác suất người bắn là xạ thủ 2: $P(X_2|T) = \frac{0,4}{0,75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.
Để lại phản hồi