1. Đề bài gốc từ ảnh chụp
Câu hỏi 2 (Mức độ: Thông hiểu)
Trong một cuộc khảo sát xã hội học về sở thích ẩm thực của một nhóm học sinh khối 12 thích trà sữa hoặc kem, ban tổ chức thu được kết quả thống kê như sau: Có $56\%$ số học sinh thích ăn kem, $68\%$ số học sinh thích uống trà sữa và $24\%$ số học sinh thích cả trà sữa lẫn kem. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trong nhóm này để phỏng vấn. Biết rằng bạn học sinh được chọn thích uống trà sữa, hãy tính xác suất để bạn học sinh đó cũng thích ăn kem.
2. Dạng toán & Chủ đề kiến thức
- Dạng bài: Tính xác suất có điều kiện từ số liệu thống kê tỉ lệ phần trăm.
- Chủ đề: Xác suất có điều kiện – Chương trình Toán 12 (Chương trình GDPT 2018).
- Ứng dụng: Phân tích dữ liệu điều tra, thống kê xã hội học và ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán.
3. Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
a. Công thức xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố $A$ và $B$ liên quan đến cùng một phép thử với $P(B) > 0$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được ký hiệu là $P(A|B)$ và được tính theo công thức:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
b. Các bước tư duy giải bài toán:
- Bước 1: Đặt tên các biến cố theo đúng ngữ cảnh đề bài.
- Bước 2: Trích xuất các đại lượng xác suất đã cho từ đề bài: $P(A)$, $P(B)$, $P(A \cap B)$.
- Bước 3: Xác định rõ điều kiện đã biết (biến cố $B$) và biến cố cần tính xác suất ($A$).
- Bước 4: Áp dụng công thức $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ để tính kết quả cuối cùng.
4. Lời giải chi tiết bài toán gốc trong ảnh
Lời giải:
Gọi các biến cố trong phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh như sau:
- $A$: “Học sinh được chọn thích ăn kem”.
- $B$: “Học sinh được chọn thích uống trà sữa”.
- $A \cap B$: “Học sinh được chọn thích cả trà sữa lẫn kem”.
Theo giả thiết bài toán cung cấp, ta có các xác suất tương ứng:
- $P(A) = 56\% = 0,56$
- $P(B) = 68\% = 0,68$
- $P(A \cap B) = 24\% = 0,24$
Đề bài yêu cầu: Tính xác suất để bạn học sinh đó thích ăn kem (biến cố $A$), biết rằng bạn học sinh đó thích uống trà sữa (biến cố $B$). Đây chính là xác suất có điều kiện $P(A|B)$.
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,24}{0,68} = \frac{24}{68} = \frac{6}{17} \approx 0,3529 \text{ (hay } 35,29\% \text{)}$$
Đáp số: $\frac{6}{17} \approx 35,29\%$.
5. 5 Bài toán tương tự rèn luyện kỹ năng (Có lời giải chi tiết)
Dưới đây là 5 bài tập tương tự giúp học sinh củng cố kiến thức về xác suất có điều kiện trong các mô hình thống kê thực tế:
Bài 1
Khảo sát một nhóm học sinh lớp 12 về việc học môn Tiếng Anh và môn Tin học. Kết quả cho thấy có $60\%$ học sinh giỏi Tiếng Anh, $50\%$ học sinh giỏi Tin học và $30\%$ học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết rằng học sinh đó giỏi Tiếng Anh, tính xác suất để học sinh đó cũng giỏi Tin học.
Xem lời giải chi tiết Bài 1
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố “Học sinh giỏi Tin học”, $B$ là biến cố “Học sinh giỏi Tiếng Anh”.
Khi đó $A \cap B$ là biến cố “Học sinh giỏi cả Tiếng Anh và Tin học”.
Theo đề bài ta có: $P(B) = 60\% = 0,6$ và $P(A \cap B) = 30\% = 0,3$.
Xác suất cần tìm là $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,6} = 0,5 = 50\%$.
Bài 2
Tại một trường THPT, thống kê cho thấy $70\%$ học sinh tham gia Câu lạc bộ Bóng đá, $40\%$ học sinh tham gia Câu lạc bộ Cầu lông và $25\%$ học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết rằng học sinh này tham gia Câu lạc bộ Cầu lông, tính xác suất để học sinh đó cũng tham gia Câu lạc bộ Bóng đá.
Xem lời giải chi tiết Bài 2
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố “Học sinh tham gia CLB Bóng đá”, $B$ là biến cố “Học sinh tham gia CLB Cầu lông”.
Khi đó $A \cap B$ là biến cố “Học sinh tham gia cả hai CLB”.
Theo giả thiết: $P(B) = 40\% = 0,4$ và $P(A \cap B) = 25\% = 0,25$.
Xác suất để học sinh tham gia CLB Bóng đá biết rằng đã tham gia CLB Cầu lông là:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,25}{0,4} = \frac{5}{8} = 0,625 = 62,5\%$$
Bài 3
Một cuộc điều tra nhân sự tại doanh nghiệp công nghệ cho thấy $45\%$ nhân viên biết sử dụng ngôn ngữ lập trình Python, $65\%$ nhân viên biết sử dụng Excel nâng cao và $30\%$ nhân viên thành thạo cả hai kĩ năng. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên. Biết rằng nhân viên đó thành thạo Excel nâng cao, hãy tính xác suất để nhân viên đó cũng biết lập trình Python.
Xem lời giải chi tiết Bài 3
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố “Nhân viên biết sử dụng Python”, $B$ là biến cố “Nhân viên thành thạo Excel nâng cao”.
Từ giả thiết: $P(B) = 65\% = 0,65$ và $P(A \cap B) = 30\% = 0,30$.
Xác suất cần tính là $P(A|B)$:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,30}{0,65} = \frac{6}{13} \approx 0,4615 \text{ (hay } 46,15\% \text{)}$$
Bài 4
Khảo sát danh sách học sinh đăng ký các tổ hợp xét tuyển đại học cho thấy $75\%$ học sinh đăng ký khối A00, $55\%$ học sinh đăng ký khối A01 và $40\%$ học sinh đăng ký cả hai khối A00 và A01. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết rằng học sinh đó đã đăng ký khối A00, tính xác suất để học sinh đó KHÔNG đăng ký khối A01.
Xem lời giải chi tiết Bài 4
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố “Học sinh đăng ký khối A01”, $B$ là biến cố “Học sinh đăng ký khối A00”.
Theo đề bài: $P(B) = 0,75$ và $P(A \cap B) = 0,40$.
Xác suất học sinh đăng ký khối A01 biết rằng đã đăng ký khối A00 là:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,40}{0,75} = \frac{8}{15}$$
Xác suất học sinh KHÔNG đăng ký khối A01 biết rằng đã đăng ký khối A00 là biến cố đối $P(\bar{A}|B)$:
$$P(\bar{A}|B) = 1 – P(A|B) = 1 – \frac{8}{15} = \frac{7}{15} \approx 0,4667 \text{ (hay } 46,67\% \text{)}$$
Bài 5
Thống kê tại một công ty bảo hiểm xe cơ giới cho thấy $20\%$ khách hàng đăng ký mua bảo hiểm thân vỏ xe, $30\%$ mua bảo hiểm trách nhiệm dân sự và $12\%$ khách hàng đăng ký mua cả hai loại bảo hiểm. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng từ danh sách. Biết khách hàng này đã mua bảo hiểm thân vỏ xe, hãy tính xác suất để người đó cũng mua bảo hiểm trách nhiệm dân sự.
Xem lời giải chi tiết Bài 5
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố “Khách hàng mua bảo hiểm trách nhiệm dân sự”, $B$ là biến cố “Khách hàng mua bảo hiểm thân vỏ xe”.
Theo dữ liệu: $P(B) = 20\% = 0,20$ và $P(A \cap B) = 12\% = 0,12$.
Xác suất cần tìm là $P(A|B)$:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,12}{0,20} = 0,60 = 60\%$$
Để lại một bình luận