Dạng toán: Xác suất có điều kiện và công thức Bayes
Bài toán xác suất có điều kiện dạng vận dụng cao thường kết hợp giữa công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là một trong những dạng bài phân loại học sinh giỏi, thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán.
1. Đề bài
Một hộp chứa 3 đồng xu nhìn bề ngoài hoàn toàn giống nhau nhưng có tính chất khác nhau:
- Đồng xu thứ nhất là đồng xu cân đối và đồng chất (xác suất xuất hiện mặt Sấp là $\frac{1}{2}$).
- Đồng xu thứ hai có cả hai mặt đều là mặt Sấp.
- Đồng xu thứ ba không cân đối, được chế tạo sao cho xác suất xuất hiện mặt Sấp là $\frac{3}{4}$.
Một người nhắm mắt chọn ngẫu nhiên một đồng xu từ hộp và tung nó 2 lần độc lập. Biết rằng cả hai lần tung đều xuất hiện mặt Sấp. Tính xác suất đồng xu được chọn là đồng xu thứ nhất (đồng xu cân đối).
2. Phương pháp giải và Lời giải chi tiết
Bước 1: Thiết lập hệ biến cố đầy đủ
Gọi $A_1$ là biến cố "Chọn được đồng xu thứ nhất (cân đối)".
Gọi $A_2$ là biến cố "Chọn được đồng xu thứ hai (2 mặt Sấp)".
Gọi $A_3$ là biến cố "Chọn được đồng xu thứ ba (lệch)".
Vì chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 đồng xu nên ta có xác suất: $$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$$ Hệ biến cố $\{A_1, A_2, A_3\}$ là một hệ đầy đủ.
Bước 2: Tính xác suất của biến cố điều kiện
Gọi $B$ là biến cố "Tung đồng xu 2 lần đều xuất hiện mặt Sấp". Khi đó, xác suất xảy ra $B$ phụ thuộc vào việc ta đã chọn được đồng xu nào:
- Nếu chọn được đồng xu thứ nhất, xác suất tung 2 lần đều Sấp là: $P(B | A_1) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
- Nếu chọn được đồng xu thứ hai, xác suất tung 2 lần đều Sấp là: $P(B | A_2) = 1^2 = 1$
- Nếu chọn được đồng xu thứ ba, xác suất tung 2 lần đều Sấp là: $P(B | A_3) = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$
Bước 3: Sử dụng công thức xác suất toàn phần
Xác suất để tung 2 lần đều ra mặt Sấp là: $$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$$ $$P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{16} + \frac{16}{16} + \frac{9}{16} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{29}{16} = \frac{29}{48}$$
Bước 4: Sử dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện
Yêu cầu bài toán là tính xác suất đồng xu được chọn là đồng xu cân đối ($A_1$) với điều kiện 2 lần tung đều Sấp ($B$), tức là tính $P(A_1 | B)$. $$P(A_1 | B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{29}{48}} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{29}{48}} = \frac{4}{29}$$
Kết luận: Xác suất cần tìm là $\frac{4}{29}$.
3. Bài tập tương tự tự luyện (Có đáp án)
Bài 1: Một người có 4 chùm chìa khóa, mỗi chùm có 5 chiếc. Chùm 1 có 2 chìa mở được cửa, chùm 2 có 3 chìa mở được, chùm 3 có 1 chìa mở được, chùm 4 không có chìa nào mở được cửa. Người đó chọn ngẫu nhiên 1 chùm chìa khóa, rồi từ đó thử ngẫu nhiên 1 chiếc chìa. Kết quả là cửa mở được. Tính xác suất chùm chìa khóa được chọn là chùm thứ 2.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_i$ là biến cố chọn được chùm thứ $i$ ($i=1, 2, 3, 4$). $P(A_i) = \frac{1}{4}$.
Gọi $B$ là biến cố "Mở được cửa".
$P(B|A_1) = \frac{2}{5}, P(B|A_2) = \frac{3}{5}, P(B|A_3) = \frac{1}{5}, P(B|A_4) = 0$.
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B) = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} + 0\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
Theo công thức Bayes: $P(A_2 | B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{3}{10}} = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{6}{20}} = \frac{1}{2}$.
Đáp số: $\frac{1}{2}$
Bài 2: Có 3 hộp đựng bi. Hộp I chứa 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Hộp II chứa 4 bi đỏ và 1 bi xanh. Hộp III chứa 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Một người chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi. Biết rằng 2 viên bi lấy ra có màu khác nhau. Tính xác suất hộp được chọn là hộp I.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_i$ là biến cố chọn được hộp thứ $i$ ($i=1, 2, 3$). $P(A_i) = \frac{1}{3}$.
Gọi $B$ là biến cố "Lấy được 2 viên bi khác màu". Số cách lấy 2 bi từ mỗi hộp 5 bi là $C_5^2 = 10$.
$P(B|A_1) = \frac{C_3^1 C_2^1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$P(B|A_2) = \frac{C_4^1 C_1^1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$P(B|A_3) = \frac{C_2^1 C_3^1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$P(B) = \frac{1}{3} \left(\frac{3}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5}\right) = \frac{8}{15}$.
Xác suất hộp được chọn là hộp I: $P(A_1 | B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{8}{15}} = \frac{3}{8}$.
Đáp số: $\frac{3}{8}$
Bài 3: Trong một bài thi trắc nghiệm môn Toán, một câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Xác suất một sinh viên biết chắc chắn câu trả lời là $0,6$. Nếu sinh viên không biết đáp án, sinh viên đó sẽ chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án. Biết rằng sinh viên đã trả lời đúng câu hỏi đó. Tính xác suất sinh viên thực sự biết đáp án.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$ là biến cố "Sinh viên biết chắc chắn đáp án", $P(A_1) = 0,6$.
Gọi $A_2$ là biến cố "Sinh viên không biết và chọn ngẫu nhiên", $P(A_2) = 0,4$.
Gọi $B$ là biến cố "Sinh viên trả lời đúng".
$P(B|A_1) = 1$ (biết chắc chắn thì trả lời đúng).
$P(B|A_2) = \frac{1}{4} = 0,25$ (chọn ngẫu nhiên 1 trong 4).
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = 0,6 \cdot 1 + 0,4 \cdot 0,25 = 0,6 + 0,1 = 0,7$.
Xác suất sinh viên thực sự biết đáp án: $P(A_1 | B) = \frac{0,6}{0,7} = \frac{6}{7}$.
Đáp số: $\frac{6}{7}$
Bài 4: Ba xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên đạn độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ 1, 2, 3 lần lượt là $0,6$; $0,7$ và $0,8$. Sau khi bắn, ban trọng tài xác nhận có đúng 2 viên đạn trúng mục tiêu. Tính xác suất viên đạn của xạ thủ thứ ba bị trượt.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $T_i$ là biến cố "Xạ thủ thứ $i$ bắn trúng" ($i=1, 2, 3$). Các biến cố này độc lập.
Gọi $B$ là biến cố "Có đúng 2 viên đạn trúng mục tiêu".
Biến cố $B$ là tổng của 3 trường hợp xung khắc: người 3 trượt, người 2 trượt, người 1 trượt.
$P(\text{Người 1, 2 trúng; 3 trượt}) = 0,6 \cdot 0,7 \cdot (1 – 0,8) = 0,084$.
$P(\text{Người 1, 3 trúng; 2 trượt}) = 0,6 \cdot (1 – 0,7) \cdot 0,8 = 0,144$.
$P(\text{Người 2, 3 trúng; 1 trượt}) = (1 – 0,6) \cdot 0,7 \cdot 0,8 = 0,224$.
$P(B) = 0,084 + 0,144 + 0,224 = 0,452$.
Xác suất người thứ 3 trượt với điều kiện có đúng 2 viên trúng: $P(\overline{T_3} | B) = \frac{0,084}{0,452} = \frac{84}{452} = \frac{21}{113}$.
Đáp số: $\frac{21}{113}$
Bài 5: Một bệnh viện sử dụng bộ test xét nghiệm bệnh X. Biết rằng tỷ lệ người mắc bệnh X trong cộng đồng là 2%. Bộ test có độ nhạy là 95% (nghĩa là nếu có bệnh, xác suất xét nghiệm dương tính là 95%) và độ đặc hiệu là 90% (nếu không có bệnh, xác suất xét nghiệm âm tính là 90%). Một người đi xét nghiệm ngẫu nhiên và nhận kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh X.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$ là biến cố "Người đó mắc bệnh", $P(A_1) = 0,02$.
Gọi $A_2$ là biến cố "Người đó không mắc bệnh", $P(A_2) = 0,98$.
Gọi $B$ là biến cố "Kết quả xét nghiệm dương tính".
$P(B|A_1) = 0,95$.
$P(B|A_2) = 1 – 0,90 = 0,10$ (không bệnh nhưng test ra dương tính – dương tính giả).
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = 0,02 \cdot 0,95 + 0,98 \cdot 0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117$.
Xác suất mắc bệnh thực sự khi test dương tính: $P(A_1 | B) = \frac{0,019}{0,117} = \frac{19}{117} \approx 16,24\%$.
Đáp số: $\frac{19}{117}$
Để lại một bình luận