Chinh Phục Dạng Bài Xác Suất Có Điều Kiện và Công Thức Bayes – Toán 12

1. Đề bài

Có hai hộp chứa các viên bi. Hộp thứ nhất (Hộp I) chứa 5 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Hộp thứ hai (Hộp II) chứa 3 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Một người gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Nếu con xúc xắc xuất hiện mặt 1 hoặc 2 chấm, người đó chọn Hộp I. Nếu con xúc xắc xuất hiện mặt 3, 4, 5, hoặc 6 chấm, người đó chọn Hộp II. Từ hộp đã chọn, người đó rút ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Giả sử viên bi rút được là viên bi màu trắng. Tính xác suất để viên bi trắng đó được rút ra từ Hộp I.

2. Dạng toán

Bài toán thuộc chuyên đề Xác suất có điều kiện, cụ thể là ứng dụng của Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes trong chương trình Toán 12 mới.

3. Phương pháp giải

Để giải dạng toán này, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Gọi các biến cố liên quan đến hệ đầy đủ. Trong bài này, gọi $A_1$ là biến cố chọn Hộp I, $A_2$ là biến cố chọn Hộp II. Tính $P(A_1)$ và $P(A_2)$.
• Bước 2: Gọi biến cố quan tâm là $B$ (rút được bi trắng). Tính các xác suất có điều kiện $P(B|A_1)$ và $P(B|A_2)$.
• Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần để tính $P(B)$: $$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2)$$
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện cần tìm (xác suất Hộp I khi biết bi màu trắng): $$P(A_1|B) = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)}$$

4. Lời giải chi tiết

Bước 1: Tính xác suất chọn mỗi hộp.

Gọi $A_1$ là biến cố “Chọn được Hộp I” và $A_2$ là biến cố “Chọn được Hộp II”. Ta có:

Con xúc xắc có 6 mặt. Các mặt 1, 2 chấm dẫn đến chọn Hộp I $\Rightarrow P(A_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Các mặt 3, 4, 5, 6 chấm dẫn đến chọn Hộp II $\Rightarrow P(A_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Bước 2: Tính xác suất rút được bi trắng từ mỗi hộp.

Gọi $B$ là biến cố “Rút được viên bi màu trắng”.

Nếu chọn Hộp I (có 5 bi trắng, 4 bi đen, tổng 9 bi), xác suất rút được bi trắng là: $P(B|A_1) = \frac{5}{9}$.

Nếu chọn Hộp II (có 3 bi trắng, 6 bi đen, tổng 9 bi), xác suất rút được bi trắng là: $P(B|A_2) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Bước 3: Tính xác suất toàn phần để rút được bi trắng.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{27} + \frac{6}{27} = \frac{11}{27}$$

Bước 4: Tính xác suất có điều kiện theo yêu cầu đề bài.

Bài toán yêu cầu tính xác suất rút được bi từ Hộp I biết rằng đó là bi trắng, tức là tính $P(A_1|B)$. Áp dụng công thức Bayes:

$$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{27}}{\frac{11}{27}} = \frac{5}{11}$$

Kết luận: Xác suất để viên bi trắng đó được lấy từ Hộp I là $\frac{5}{11}$.

5. Bài tập tự luyện

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em củng cố kiến thức:

• Câu 1: Tại một phòng khám, tỷ lệ người mắc bệnh X là 5%. Một xét nghiệm có tỷ lệ dương tính là 90% đối với người có bệnh, và tỷ lệ dương tính giả là 10% đối với người không mắc bệnh. Chọn ngẫu nhiên một người đi xét nghiệm. Nếu kết quả xét nghiệm là dương tính, tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh X.
• Câu 2: Một nhà máy có 3 phân xưởng A, B, C sản xuất cùng một loại sản phẩm với tỷ lệ sản lượng lần lượt là 30%, 50% và 20%. Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng tương ứng là 1%, 2% và 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó do phân xưởng B sản xuất.
• Câu 3: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lý và 10 học sinh giỏi cả Toán và Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Biết rằng học sinh đó giỏi Toán, tính xác suất để học sinh đó cũng giỏi Lý.
• Câu 4: Trong một hộp có 4 đồng xu, gồm 3 đồng xu cân đối (xác suất xuất hiện mặt sấp là 0.5) và 1 đồng xu không cân đối (xác suất xuất hiện mặt sấp là 0.8). Chọn ngẫu nhiên 1 đồng xu từ hộp và tung nó. Biết rằng kết quả là mặt sấp, tính xác suất để đồng xu được chọn là đồng xu cân đối.
• Câu 5: Có 2 lô hàng. Lô I có 7 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm. Lô II có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên một lô hàng rồi từ đó lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt, tính xác suất lô hàng được chọn là lô I.