Bài toán gốc
Một vật chuyển động với vận tốc $v(t)=5 – 2 \cos{t }$ (m/s). Tính quãng đường vật chuyển động trong khoảng thời gian từ lức $t=0$ đến $t=\dfrac{\pi}{3}$ (s). *
A. $\sqrt{3} + \dfrac{5 \pi}{3}$.
B. $-1 + \sqrt{3} + \dfrac{5 \pi}{3}$.
C. $-2 + \sqrt{3} + \dfrac{5 \pi}{3}$.
D. $-3 + \sqrt{3} + \dfrac{5 \pi}{3}$.
Lời giải:
Ta có: Công thức tính quãng đường vật đi được là $s=\displaystyle \int \limits_{0}^{\dfrac{\pi}{3}} v(t) \text{d}t$. Quãng đường vật chuyển động được là $s=\displaystyle \int \limits_{0}^{\dfrac{\pi}{3}} (5 – 2 \cos{t }) \text{d}t=(5 t + 2 \sin{t }) \bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}=\sqrt{3} + \dfrac{5 \pi}{3}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán: Ứng dụng tích phân xác định để tính quãng đường vật chuyển động, khi biết hàm vận tốc $v(t)$ và khoảng thời gian $[a, b]$.
Phương pháp giải: Quãng đường vật đi được $s$ trong khoảng thời gian $[a, b]$ là tích phân của hàm vận tốc (do $v(t) \ge 0$ trong khoảng đang xét, hoặc tính tích phân của trị tuyệt đối vận tốc) $s = \displaystyle \int_{a}^{b} v(t) dt$. Thực hiện phép tính tích phân cơ bản của các hàm số đã cho (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ).
Bài toán tương tự
1. **(Trắc nghiệm)** Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 4 + 3\sin{t}$ (m/s). Tính quãng đường vật chuyển động trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=\dfrac{\pi}{2}$ (s).
A. $2\pi – 3$.
B. $2\pi + 3$.
C. $4 + 2\pi$.
D. $2\pi$.
Đáp án đúng: B. $2\pi + 3$.
Lời giải ngắn gọn: Quãng đường $s=\displaystyle \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (4 + 3\sin{t}) \text{d}t=(4 t – 3 \cos{t }) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (4 \cdot \frac{\pi}{2} – 3 \cos \frac{\pi}{2}) – (0 – 3 \cos 0) = 2\pi – 0 – (-3) = 2\pi + 3$ (m).
2. **(Trắc nghiệm)** Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = 4e^{2t} – 3$ (m/s). Tính quãng đường vật chuyển động trong khoảng thời gian từ lức $t=0$ đến $t=1$ (s).
A. $2e^2 – 1$.
B. $2e^2 – 5$.
C. $4e^2 – 3$.
D. $e^2 – 2$.
Đáp án đúng: B. $2e^2 – 5$.
Lời giải ngắn gọn: Quãng đường $s=\displaystyle \int \limits_{0}^{1} (4e^{2t} – 3) \text{d}t=(2 e^{2t} – 3t) \bigg|_{0}^{1} = (2 e^{2} – 3) – (2 e^{0} – 0) = 2e^2 – 3 – 2 = 2e^2 – 5$ (m).
3. **(Trắc nghiệm)** Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = 3t^2 + 2t – 1$ (m/s). Tính quãng đường vật chuyển động trong khoảng thời gian từ lức $t=1$ đến $t=3$ (s).
A. 30 m.
B. 32 m.
C. 28 m.
D. 24 m.
Đáp án đúng: B. 32 m.
Lời giải ngắn gọn: Quãng đường $s=\displaystyle \int \limits_{1}^{3} (3t^2 + 2t – 1) \text{d}t=(t^3 + t^2 – t) \bigg|_{1}^{3} = (3^3 + 3^2 – 3) – (1^3 + 1^2 – 1) = 33 – 1 = 32$ (m).
4. **(Tự luận)** Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 3 + 4 \cos(2t)$ (m/s). Tính quãng đường vật chuyển động trong khoảng thời gian $t=0$ đến $t=\dfrac{\pi}{4}$ (s).
Đáp án: $\dfrac{3\pi}{4} + 2$ (m).
Lời giải ngắn gọn: Quãng đường $s=\displaystyle \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} (3 + 4 \cos(2t)) \text{d}t=(3 t + 2 \sin(2t)) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}$. $s = (3 \cdot \frac{\pi}{4} + 2 \sin(\frac{\pi}{2})) – (0) = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot 1 = \frac{3\pi}{4} + 2$ (m).
5. **(Trắc nghiệm)** Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = t + \sin(t)$ (m/s). Tính quãng đường vật chuyển động trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=\pi$ (s).
A. $\pi^2 + 2$.
B. $\pi$.
C. $\frac{\pi^2}{2} + 2$.
D. $2\pi + 1$.
Đáp án đúng: C. $\frac{\pi^2}{2} + 2$.
Lời giải ngắn gọn: Quãng đường $s=\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi} (t + \sin{t}) \text{d}t=(\frac{t^2}{2} – \cos{t}) \bigg|_{0}^{\pi}$. $s = (\frac{\pi^2}{2} – \cos \pi) – (0 – \cos 0) = (\frac{\pi^2}{2} – (-1)) – (-1) = \frac{\pi^2}{2} + 2$ (m).