Bài toán gốc
Tính tích phân $\displaystyle\int_{3}^5\left(2x^3 + 4\sqrt{x}\right)\mathrm{d}x$ bằng
A. $-272 – \dfrac{40 \sqrt{5}}{3} + 8 \sqrt{3}$. *
B. $- 8 \sqrt{3} + \dfrac{40 \sqrt{5}}{3} + 272$.
C. $-272 – 8 \sqrt{3} + \dfrac{40 \sqrt{5}}{3}$.
D. $- \dfrac{40 \sqrt{5}}{3} + 8 \sqrt{3} + 272$.
Lời giải:
Ta có $\displaystyle\int_{3}^5\left(2x^3 + 4\sqrt{x}\right)\mathrm{d}x = \left(\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{4}}{2}\right)\Big|_{3}^5 = – 8 \sqrt{3} + \dfrac{40 \sqrt{5}}{3} + 272.$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán là tính tích phân xác định của hàm số chứa tổng của các hàm đa thức và hàm lũy thừa (căn thức). Phương pháp giải là tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm dưới dấu tích phân $f(x)$ bằng cách sử dụng công thức tích phân cơ bản $\int x^n \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Sau đó, áp dụng Định lý cơ bản của Giải tích (công thức Newton-Leibniz) để tính giá trị tích phân: $I = F(b) – F(a)$. Trong bài toán gốc, ta có $f(x) = 2x^3 + 4x^{1/2}$, nguyên hàm $F(x) = 2\frac{x^4}{4} + 4\frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{x^4}{2} + \frac{8}{3}x\sqrt{x}$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1.** Tính tích phân $\displaystyle\int_{1}^4\left(3x^2 + 2\sqrt{x}\right)\mathrm{d}x$.
A. $65 + \dfrac{32}{3}$.
B. $64 + \dfrac{28}{3}$.
C. $63 + \dfrac{28}{3}$.
D. $66 + \dfrac{32}{3}$.
Đáp án đúng: C. $63 + \dfrac{28}{3}$.
Lời giải ngắn gọn: Nguyên hàm là $F(x) = x^3 + \frac{4}{3} x\sqrt{x}$. $I = F(4) – F(1) = (4^3 + \frac{4}{3} \cdot 4\sqrt{4}) – (1^3 + \frac{4}{3}) = (64 + \frac{32}{3}) – (1 + \frac{4}{3}) = 63 + \frac{28}{3}$.
**2.** Tính tích phân $\displaystyle\int_{4}^9\left(\dfrac{1}{2}x + 3\sqrt{x}\right)\mathrm{d}x$.
A. $\dfrac{217}{4}$.
B. $\dfrac{201}{4}$.
C. $\dfrac{215}{4}$.
D. $\dfrac{221}{4}$.
Đáp án đúng: A. $\dfrac{217}{4}$.
Lời giải ngắn gọn: Nguyên hàm là $F(x) = \frac{x^2}{4} + 2x\sqrt{x}$. $I = F(9) – F(4) = (\frac{81}{4} + 2\cdot 27) – (\frac{16}{4} + 2\cdot 8) = (\frac{81}{4} + 54) – (4 + 16) = \frac{81}{4} + 34 = \frac{81 + 136}{4} = \frac{217}{4}$.
**3.** Tính tích phân $\displaystyle\int_{1}^4\left(x^3 – 6\sqrt{x}\right)\mathrm{d}x$.
A. $\dfrac{143}{4}$.
B. $\dfrac{153}{4}$.
C. $\dfrac{141}{4}$.
D. $\dfrac{145}{4}$.
Đáp án đúng: A. $\dfrac{143}{4}$.
Lời giải ngắn gọn: Nguyên hàm là $F(x) = \frac{x^4}{4} – 4 x\sqrt{x}$. $I = F(4) – F(1) = (\frac{256}{4} – 4\cdot 8) – (\frac{1}{4} – 4) = (64 – 32) – (\frac{1}{4} – 4) = 32 – (-\frac{15}{4}) = 32 + \frac{15}{4} = \frac{143}{4}$.
**4.** Tính tích phân $\displaystyle\int_{1}^9\left(\dfrac{3}{\sqrt{x}} + 2x\right)\mathrm{d}x$.
A. $92$.
B. $90$.
C. $94$.
D. $88$.
Đáp án đúng: A. $92$.
Lời giải ngắn gọn: $f(x) = 3x^{-1/2} + 2x$. Nguyên hàm là $F(x) = 6\sqrt{x} + x^2$. $I = F(9) – F(1) = (6\cdot 3 + 81) – (6\cdot 1 + 1) = 99 – 7 = 92$.
**5.** Tính tích phân $\displaystyle\int_{1}^8\left(3\sqrt[3]{x} + x^2\right)\mathrm{d}x$.
A. $\dfrac{2449}{12}$.
B. $\dfrac{2501}{12}$.
C. $\dfrac{2409}{12}$.
D. $\dfrac{2549}{12}$.
Đáp án đúng: A. $\dfrac{2449}{12}$.
Lời giải ngắn gọn: $f(x) = 3x^{1/3} + x^2$. Nguyên hàm là $F(x) = \frac{9}{4} x^{4/3} + \frac{x^3}{3}$. $I = F(8) – F(1) = (\frac{9}{4} \cdot 16 + \frac{512}{3}) – (\frac{9}{4} + \frac{1}{3}) = 36 + \frac{512}{3} – \frac{9}{4} – \frac{1}{3} = 36 + \frac{511}{3} – \frac{9}{4} = \frac{2449}{12}$. (Quy đồng mẫu số 12).