Bài toán gốc
Nếu $\displaystyle \int\limits_{9}^{10} f(x)\text{d}x=-1$ và $\displaystyle \int\limits_{9}^{14} f(x)\text{d}x=9$ thì $\displaystyle \int\limits_{10}^{14} f(x)\text{d}x$ bằng
A. $-7$.
B. $12$.
C. $-8$. *
D. $10$.
Lời giải:
Ta có $\displaystyle \int\limits_{9}^{14} f(x)\text{d}x=\displaystyle \int\limits_{9}^{10} f(x)\text{d}x+\displaystyle \int\limits_{10}^{14} f(x)\text{d}x \Leftrightarrow \displaystyle \int\limits_{10}^{14} f(x)\text{d}x =\displaystyle \int\limits_{9}^{14} f(x)\text{d}x-\displaystyle \int\limits_{9}^{10} f(x)\text{d}x=9+1=10$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán này kiểm tra kiến thức về tính chất cộng (hay phân tách cận) của tích phân xác định: $\int_{a}^{b} f(x)\text{d}x = \int_{a}^{c} f(x)\text{d}x + \int_{c}^{b} f(x)\text{d}x$. Trong bài toán gốc, ta cần tìm $\int_{10}^{14} f(x)\text{d}x$. Ta sử dụng cận $c=9$ (cận chung) để biểu diễn: $\int_{9}^{14} f(x)\text{d}x = \int_{9}^{10} f(x)\text{d}x + \int_{10}^{14} f(x)\text{d}x$. Từ đó suy ra $\int_{10}^{14} f(x)\text{d}x = \int_{9}^{14} f(x)\text{d}x – \int_{9}^{10} f(x)\text{d}x$. Đây là phương pháp giải chính.
Bài toán tương tự
Câu 1: Nếu $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x)\text{d}x = 5$ và $\displaystyle \int_{1}^{7} f(x)\text{d}x = -2$ thì giá trị của $\displaystyle \int_{3}^{7} f(x)\text{d}x$ là:
A. $3$.
B. $7$.
C. $-7$.
D. $-3$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\displaystyle \int_{3}^{7} f(x)\text{d}x = \displaystyle \int_{1}^{7} f(x)\text{d}x – \displaystyle \int_{1}^{3} f(x)\text{d}x = -2 – 5 = -7$.
Câu 2: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Nếu $\displaystyle \int_{2}^{5} f(x)\text{d}x = 6$ và $\displaystyle \int_{5}^{8} f(x)\text{d}x = 3$ thì $\displaystyle \int_{2}^{8} f(x)\text{d}x$ bằng:
A. $9$.
B. $3$.
C. $-3$.
D. $18$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng tính chất phân tách cận: $\displaystyle \int_{2}^{8} f(x)\text{d}x = \displaystyle \int_{2}^{5} f(x)\text{d}x + \displaystyle \int_{5}^{8} f(x)\text{d}x = 6 + 3 = 9$.
Câu 3: Cho hàm số $g(x)$ thỏa mãn $\displaystyle \int_{0}^{4} g(x)\text{d}x = 10$ và $\displaystyle \int_{0}^{6} g(x)\text{d}x = 1$. Giá trị của tích phân $\displaystyle \int_{6}^{4} g(x)\text{d}x$ là:
A. $11$.
B. $-9$.
C. $9$.
D. $-11$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\displaystyle \int_{0}^{6} g(x)\text{d}x = \displaystyle \int_{0}^{4} g(x)\text{d}x + \displaystyle \int_{4}^{6} g(x)\text{d}x$. Suy ra $1 = 10 + \displaystyle \int_{4}^{6} g(x)\text{d}x$. Do đó $\displaystyle \int_{4}^{6} g(x)\text{d}x = 1 – 10 = -9$. Theo tính chất đổi cận, $\displaystyle \int_{6}^{4} g(x)\text{d}x = – \displaystyle \int_{4}^{6} g(x)\text{d}x = -(-9) = 9$.
Câu 4: Cho $\displaystyle \int_{-1}^{2} f(x)\text{d}x = 4$ và $\displaystyle \int_{2}^{5} f(x)\text{d}x = -1$. Tính $I = \displaystyle \int_{-1}^{5} (3f(x) + 1)\text{d}x$.
A. $10$.
B. $15$.
C. $21$.
D. $9$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Trước hết, $\displaystyle \int_{-1}^{5} f(x)\text{d}x = \displaystyle \int_{-1}^{2} f(x)\text{d}x + \displaystyle \int_{2}^{5} f(x)\text{d}x = 4 + (-1) = 3$.
Khi đó $I = 3 \displaystyle \int_{-1}^{5} f(x)\text{d}x + \displaystyle \int_{-1}^{5} 1\text{d}x = 3(3) + [x]_{-1}^{5} = 9 + (5 – (-1)) = 9 + 6 = 15$.
Câu 5: Cho $\displaystyle \int_{1}^{5} f(x)\text{d}x = 12$ và $\displaystyle \int_{3}^{5} f(x)\text{d}x = 7$. Tính giá trị của $K = \displaystyle \int_{1}^{3} (2f(x) – 5)\text{d}x$.
A. $0$.
B. $10$.
C. $15$.
D. $20$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta tìm $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x)\text{d}x$: $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x)\text{d}x = \displaystyle \int_{1}^{5} f(x)\text{d}x – \displaystyle \int_{3}^{5} f(x)\text{d}x = 12 – 7 = 5$.
Khi đó $K = 2 \displaystyle \int_{1}^{3} f(x)\text{d}x – \displaystyle \int_{1}^{3} 5\text{d}x = 2(5) – [5x]_{1}^{3} = 10 – (5(3) – 5(1)) = 10 – (15 – 5) = 10 – 10 = 0$.