Vì nước và dầu không hoà tan vào nhau nên nếu dầu đổ vào nước sẽ tạo thành một mảng hình trụ trên bề mặt nước. Bán kính ${r(t)}$ của mảng này lan ra với tốc độ tỉ lệ thuận với chiều cao ${h(t)}$ của mảng dầu. Giả sử một lít dầu bị đổ trên mặt hồ tĩnh lặng. Bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm. Hỏi sau bao nhiêu phút (làm tròn đến hàng phằn mười) thì bán kính vết tràn đạt 5 mét?
Lời giải
Trả lời: 35,6
Vì mảng dầu này lan có dạng hình trụ, nên ta có thể tích khối dầu ${V=\pi \cdot r^2(t) \cdot h(t)}$ (thể tích này là không đổi) ${\Rightarrow h(t)=\dfrac{V}{\pi r^2(t)}}$
Bán kính ${r(t)}$ của mảng dầu lan ra với tốc độ ${r^{\prime}(t)}$, mà tốc độ lan ra ${r^{\prime}(t)}$ tỉ lệ thuận với chiều cao ${h(t)}$ của mảng dầu nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có ${r^{\prime}(t)=k \cdot h(t) \quad(*)}$
Thay ${h(t)=\dfrac{V}{\pi r^2(t)}}$ vào biểu thức (*) ta được ${r^{\prime}(t)=k \dfrac{V}{\pi r^2(t)}}$
Vì ${k \dfrac{V}{\pi}}$ là 1 đại lượng không đổi nên đặt ${k \dfrac{V}{\pi}=a}$
Khi đó ${r^{\prime}(t)=k \dfrac{V}{\pi r^2(t)} \Leftrightarrow r^{\prime}(t)=\dfrac{a}{r^2(t)} \Leftrightarrow 3 r^{\prime}(t) \cdot r^2(t)=3 a \Leftrightarrow\left[r^3(t)\right]^{\prime}=3 a}$
Nguyên hàm 2 vế, ta được ${r^3(t)=\int 3 a {d} t \Leftrightarrow r^3(t)=3 a t+C}$
Từ giả thiết: bán kính ban đầu của vết tràn là 20 cm và sau 2 giây nó tăng lên 50 cm, ta có hệ phương trình ${\left\{\begin{array}{l}r(0)=20 \\ r(2)=50\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}C=20^3=8000 \\ 3.2 a+C=50^3\end{array}\right.\right.}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
C=8000 \\
a=19500 \\
\end{array} \right.\Rightarrow {{r}^{3}}(t)=58500t+8000\quad (cm)$
Đổi ${5 {m}=500 {cm}}$
Bán kính vết tràn đạt 4 m tương đương với ${r(t)=500 \Rightarrow 500^3=58500 t+8000}$
${\Rightarrow t=\dfrac{500^3-8000}{58500} \approx 2136,61(s) \approx 35,6}$ phút