Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số $v\left( t \right)=-0,1{{t}^{3}}+{{t}^{2}}$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v\left( t \right)$ tính bằng centimét/tuần. Gọi $h\left( t \right)$ là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ $t$. Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao bao nhiêu centimét?( làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
Đáp số: $88,3$.
Ta có: $h\left( t \right)$ $\int{\left( -0,1{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)}\text{d}t=\int{-0,1{{t}^{3}}}\text{ d}t+\int{{{t}^{2}}\text{ d}t}=\dfrac{-{{t}^{4}}}{40}+\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+C$.
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên $h\left( 0 \right)=5$, suy ra $C=5$.
Do đó $h\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{4}}}{40}+\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+5$.
Ta chi cần tìm giá trị lớn nhất của $h\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{4}}}{40}+\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+5$ với $t\in \left[ 0;10 \right]$.
Ta có: ${h}’\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{3}}}{10}+{{t}^{2}}=\dfrac{{{t}^{2}}}{10}\left( -t+10 \right)$, suy ra ${h}’\left( t \right)=0$ khi $t$ bằng 0 hoặc 10.
Ta thấy $h\left( 0 \right)=5,h\left( 10 \right)=\dfrac{265}{3}$. Khi đó, $h\left( t \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{265}{3}$ trên đoạn $\left[ 0;10 \right]$.
Vậy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $\dfrac{265}{3}\approx 88,3\left( \text{ cm} \right)$.