Một hồ nuớc bị ô nhiễm được xử lí bằng một chất diệt khuẩn. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi ${B^{\prime}(t)=-\dfrac{3000}{(1+0,2 t)^2}, t \geq 0}$ với ${B(t)}$ là số lượng vi khuẩn trên mỗi ${m l}$ nuớc và ${t}$ là số ngày tính từ khi hồ nuớc được xử lí. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml nước. Sử dụng mô hình này xác định lượng vi khuẩn sau 5 ngày.
Cho biết $$
Lời giải
Trả lời: 2500
Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình cho bởi công thức đạo hàm
${B^{\prime}(t)=-\dfrac{3000}{(1+0,2 t)^2}, t \geq 0
}$ 288
Nguyên hàm của ${B^{\prime}(t)}$ là hàm ${B(t)}$ biểu diễn số lượng vi khuẩn sống sót trong ngày thứ ${t}$.
Ta có
${\begin{array}{l}
B(t) =\int \dfrac{-3000}{(1+0,2 t)^2} d t=-3000 \int(1+0,2 t)^{-2} d t \\
=15000(1+0,2 t)^{-1}+C=\dfrac{15000}{1+0,2 t}+C .
\end{array}
}$
Vì số lượng vi khuẩn ban đầu là ${10000 {con} / {ml}}$ nước nên ta có
${B(0)=10000 \Rightarrow 15000+C=10000 \Rightarrow C=-5000 \text {. }
}$
Vậy hàm số biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót tại ngày thứ ${t}$ là
${B(t)=\dfrac{15000}{1+0,2 t}-5000 \text {. }
}$
Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là ${B(5)=2500({con} / {ml}) \text {. }
}$