Người ta quan sát một quần thể vi khuẩn đang tăng trưởng, ban đầu gồm 500 vi khuẩn. Sau một ngày và sau bốn ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn của quần thể đó tương ứng là 600 vi khuẩn, 1300 vi khuẩn. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, 0 ≤ t ≤ 10. Người ta ước tính tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó được mô tả bởi ${P}’\left( t \right)=at+b\sqrt[{}]{t}$ (vi khuẩn/ngày), trong đó a, b là hằng số. Hỏi số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày kể từ khi bắt đầu quan sát là bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 3200.
Ta có ${P}’\left( t \right)=at+b\sqrt{t}\Rightarrow P\left( t \right)=\int{\left( at+b\sqrt{t} \right)dt}=\dfrac{1}{2}a{{t}^{2}}+\dfrac{2}{3}bt\sqrt{t}+C$
Ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên $P\left( 0 \right)=500\Rightarrow C=500$ $\Rightarrow P\left( t \right)=\dfrac{1}{2}a{{t}^{2}}+\dfrac{2}{3}bt\sqrt[{}]{t}+500$.
Sau 1 ngày có 600 vi khuẩn nên $P\left( 1 \right)=600\Rightarrow \dfrac{1}{2}a+\dfrac{2}{3}b+500=600\Rightarrow \dfrac{1}{2}a+\dfrac{2}{3}b=100$ (1)
Sau 4 ngày có 1300 vi khuẩn nên $P\left( 4 \right)=1300\Rightarrow 8a+\dfrac{16}{3}b+500=1300\Rightarrow 8a+\dfrac{16}{3}b=800$ (2).
Từ (1) và (2) ta có a = 0 và b = 150 $\Rightarrow P\left( t \right)=100t\sqrt[{}]{t}+500$.
Vậy số vi khuẩn sau 9 ngày là $P\left( 9 \right)=3200$.