Cho hàm số $f(x)=2x-3\cos x$.
a) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x)=2+3\sin x$
b) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x-3\cos x$ là $h(x)=x^{2}-3\sin x+2024$
c) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3$ là $F(x)=x^{2}-3\sin x+6-\dfrac{\pi^{2}}{4}$
d) $f(x)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k(x)\cdot\mathrm{e}^{x}$, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $k'(x)\cdot \mathrm{e}^{x}$ là $3\sin x+3\cos x-2x+C$
Lời giải:
(Đúng) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x)=2+3\sin x$
(Vì):
Ta có $f^{\prime}(x)=2+3\sin x=g(x)$, suy ra $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x)=2+3\sin x$.
(Đúng) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x-3\cos x$ là $h(x)=x^{2}-3\sin x+2024$
(Vì):
Ta có $h'(x)=(x^{2}-3\sin x+2024)’ = 2x-3\cos x = f(x)$.
(Đúng) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3$ là $F(x)=x^{2}-3\sin x+6-\dfrac{\pi^{2}}{4}$
(Vì):
Ta có $\displaystyle\int(2x-3\cos x)\mathrm{d}x=x^{2}-3\sin x+C$.
Suy ra $F(x)=x^{2}-3\sin x+C$.
$F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\Leftrightarrow \dfrac{\pi^{2}}{4}-3+C=3\Leftrightarrow C=6-\dfrac{\pi^{2}}{4}$
Vậy $F(x)=x^{2}-3\sin x+6-\dfrac{\pi^{2}}{4}$.
(Đúng) $f(x)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k(x)\cdot\mathrm{e}^{x}$, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $k'(x)\cdot \mathrm{e}^{x}$ là $3\sin x+3\cos x-2x+C$
(Vì):
Ta có $f(x)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k(x)\cdot \mathrm{e}^{x}$.
Suy ra $(2x-3\cos x)’=k(x)\cdot \mathrm{e}^{x}\Leftrightarrow 2+3\sin x=k(x)\cdot \mathrm{e}^{x}\Leftrightarrow k(x)=\dfrac{2+3\sin x}{\mathrm{e}^{x}}$
Do đó
$k'(x)=\dfrac{(3\cos x-3\sin x-2)\cdot \mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}=\dfrac{3\cos x-3\sin x-2}{\mathrm{e}^{x}}$
$\Rightarrow k'(x)\cdot \mathrm{e}^{x}=3\cos x-3\sin x-2$.
Vậy $\displaystyle\int k'(x)\cdot \mathrm{e}^{x}\mathrm{~d}x=\displaystyle\int(3\cos x-3\sin x-2)\mathrm{d}x=3\sin x+3\cos x-2x+C$.
(Đúng) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x)=2+3\sin x$
(Đúng) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x-3\cos x$ là $h(x)=x^{2}-3\sin x+2024$
(Đúng) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3$ là $F(x)=x^{2}-3\sin x+6-\dfrac{\pi^{2}}{4}$
(Đúng) $f(x)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k(x)\cdot\mathrm{e}^{x}$, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $k'(x)\cdot \mathrm{e}^{x}$ là $3\sin x+3\cos x-2x+C$