Cho $F\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right){{\text{e}}^{-x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\left( x^2-3x+2 \right){{\text{e}}^{-x}}$

Cho $F\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right){{\text{e}}^{-x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\left( x^2-3x+2 \right){{\text{e}}^{-x}}$. Tính tổng $S=a+2b-c$ ?
Đáp án: 2
Lời giải: Ta có: ${F}’\left( x \right)=\left( 2ax+b \right){{\text{e}}^{-x}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right){{\text{e}}^{-x}}=\left[ -a{{x}^{2}}+\left( 2a-b \right)x+\left( b-c \right) \right]{{\text{e}}^{-x}}$.
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi $F'(x) = f(x)$. So sánh các hệ số của $x^2$, $x$ và hằng số, ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} -a=1 \\ 2a-b=-3 \\ b-c=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=-1 \\ b=1 \\ c=-1 \end{array} \right.$.
Vậy $S=a+2b-c = -1 + 2 \cdot 1 – \left(-1\right) = 2$.