Cho hàm số $f\left( x \right)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$, và thỏa mãn $\int f\left( 3+x \right)dx={{e}^{x}}+\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$, và thỏa mãn $\int f\left( 3+x \right)dx={{e}^{x}}+\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)$. Tính $f\left( -2 \right)$ (kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) (Kết quả bài toán nhân với 10 rồi làm tròn đến hàng phần chục)
Đáp án: -2,9
Lời giải: Gọi $F\left( x+3 \right)$ là họ nguyên hàm của hàm số $f\left( 3+x \right)$
$\Rightarrow \int f\left( 3+x \right)dx=F\left( 3+x \right)={{e}^{x}}+\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)$
$\Rightarrow F’\left( 3+x \right)=f\left( 3+x \right)\Rightarrow f\left( 3+x \right)={{e}^{x}}+\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+9}$
Đặt $t=3+x\Rightarrow x=t-3$
$\Rightarrow f\left( t \right)={{e}^{t-3}}+\dfrac{2\left( t-3 \right)}{{{\left( t-3 \right)}^{2}}+9}={{e}^{t-3}}+\dfrac{2t-6}{{{t}^{2}}-6t+9+9}$
$\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{x-3}}+\dfrac{2x-6}{{{x}^{2}}-6x+9+9}$
$f\left( -2 \right)={{e}^{-2-3}}+\dfrac{-10}{34}={{e}^{-2-3}} -\dfrac{5}{17} \approx -0,2874 \approx -0,29$