Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Xét điểm $M\left( x;f\left( x \right) \right)$ thay đổi trên $\left( C \right)$. Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M$ là ${{k}_{M}}=3{{x}^{2}}+2x-2$ và điểm $M$ trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung.
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ là $k=-1$.
b) $f\left( 1 \right)=0$.
c) Điểm $B\left( 2;7 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
d) Hàm số $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$.
Lời giải: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M$ là ${{k}_{M}}=3{{x}^{2}}+2x-2$.
$\Rightarrow f\left( x \right)=\int{\left( 3{{x}^{2}}+2x-2 \right)\text{d}x}={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+c$.
Ta có điểm $M$ trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung.
$\Rightarrow f\left( 0 \right)=0$.
$\Rightarrow {{0}^{3}}+{{0}^{2}}-2.0+c=0\Rightarrow c=0$.
Vậy $f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x$.
(Đúng) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ là $k=-1$.
(Vì): Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ là $k=f'(-1)=3.{{\left( -1 \right)}^{2}}+2.\left( -1 \right)-2=-1$.
(Đúng) $f\left( 1 \right)=0$.
(Vì): Ta có $f\left( 1 \right)={{1}^{3}}+{{1}^{2}}-2.1=0$.
(Sai) Điểm $B\left( 2;7 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
(Vì): Ta có $f\left( 2 \right)={{2}^{3}}+{{2}^{2}}-2.2=8 \ne 7$. Vậy điểm $B\left( 2;7 \right)$ không thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
(Đúng) Hàm số $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$.
(Vì): Ta có ${F}’\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x=f\left( x \right)$. Vậy hàm số $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$.
(Đúng) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ là $k=-1$.
(Đúng) $f\left( 1 \right)=0$.
(Sai) Điểm $B\left( 2;7 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
(Đúng) Hàm số $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$.