Cho hàm số $f\left( x \right)$, biết ${f}’\left( x \right)=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}$, biết $f\left( -2 \right)=\dfrac{3}{2}$ và $f\left( 2 \right)=2\ln 2-\dfrac{3}{2}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ?
a) Hàm số $f\left( x \right)=\ln \left| x \right|-\dfrac{1}{x}+C$, với $C$ là hằng số.
b) Hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}\ln x-\dfrac{1}{x}+{{C}_{1}},\text{khi}\ x{>}0 \\\ln \left( -x \right)-\dfrac{1}{x}+{{C}_{2}},\text{khi}\ x{<}0 \\\end{array} \right.$, với ${{C}_{1}},\ {{C}_{2}}$ là hằng số.
c) Giá trị $f\left( -1 \right)=2-\ln 2$
d) Giá trị $f\left( 4 \right)=3\ln 2$
Lời giải:
(Đúng) Hàm số $f\left( x \right)=\ln \left| x \right|-\dfrac{1}{x}+C$, với $C$ là hằng số.
(Vì): Ta có: $f\left( x \right)=\int{\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}\text{d}x=\int{\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}}=\ln \left| x \right|-\dfrac{1}{x}+C$.
(Đúng) Hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}\ln x-\dfrac{1}{x}+{{C}_{1}},\text{khi}\ x{>}0 \\\ln \left( -x \right)-\dfrac{1}{x}+{{C}_{2}},\text{khi}\ x{<}0 \\\end{array} \right.$, với ${{C}_{1}},\ {{C}_{2}}$ là hằng số.
(Vì): Ta có: $f\left( x \right)=\ln \left| x \right|-\dfrac{1}{x}+C$, nên ta có hai trường hợp $\left| x \right|=\left\{ \begin{array}{l}x,\text{khi}\ x{>}0 \\-x,\text{khi}\ x{<}0 \\\end{array} \right.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}\ln x-\dfrac{1}{x}+{{C}_{1}},\text{khi}\ x{>}0 \\\ln \left( -x \right)-\dfrac{1}{x}+{{C}_{2}},\text{khi}\ x{<}0 \\\end{array} \right.$.
(Đúng) Giá trị $f\left( -1 \right)=2-\ln 2$
(Vì): Từ dữ kiện đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( -2 \right)=\dfrac{3}{2} \\f\left( 2 \right)=2\ln 2-\dfrac{3}{2} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\ln 2+\dfrac{1}{2}+{{C}_{2}}=\dfrac{3}{2} \\\ln 2-\dfrac{1}{2}+{{C}_{1}}=2\ln 2-\dfrac{3}{2} \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{C}_{2}}=1-\ln 2 \\{{C}_{1}}=\ln 2-1 \\\end{array} \right.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}\ln x-\dfrac{1}{x}+\ln 2-1,\text{khi}\ x{>}0 \\\ln \left( -x \right)-\dfrac{1}{x}+1-\ln 2,\text{khi}\ x{<}0 \\\end{array} \right.$.
Giá trị $f\left( -1 \right)=\ln 1+1+1-\ln 2=2-\ln 2$.
(Sai) Giá trị $f\left( 4 \right)=3\ln 2$
(Vì): Ta có $f(x) = \ln x – \dfrac{1}{x} + C_1$ với $C_1 = \ln 2 – 1$ cho $x{>}0$.
Vậy $f\left( 4 \right)=\ln 4-\dfrac{1}{4}+\ln 2-1=2\ln 2-\dfrac{1}{4}+\ln 2-1=3\ln 2-\dfrac{5}{4}$. Do đó, khẳng định $f\left( 4 \right)=3\ln 2$ là sai.
(Đúng) Hàm số $f\left( x \right)=\ln \left| x \right|-\dfrac{1}{x}+C$, với $C$ là hằng số.
(Đúng) Hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}\ln x-\dfrac{1}{x}+{{C}_{1}},\text{khi}\ x{>}0 \\\ln \left( -x \right)-\dfrac{1}{x}+{{C}_{2}},\text{khi}\ x{<}0 \\\end{array} \right.$, với ${{C}_{1}},\ {{C}_{2}}$ là hằng số.
(Đúng) Giá trị $f\left( -1 \right)=2-\ln 2$
(Sai) Giá trị $f\left( 4 \right)=3\ln 2$