Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
a) $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+2025$
b) Biết $F\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2}$, khi đó $F\left( e \right)=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+1$
c) $F’\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
d) Biết rằng đồ thị của hàm số $F\left( x \right)$ đi qua $M\left( e;\dfrac{{{e}^{2}}}{2} \right)$. Khi đó $F\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}$
Lời giải: (
(Đúng) $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+2025$
(Vì): Ta có $\int f\left( x \right)\text{d}x = \int \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}\text{d}x = \int \left( x+\dfrac{1}{x} \right)\text{d}x = \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+C$.
Do đó, $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+2025$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ (với $C=2025$).
(Sai) Biết $F\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2}$, khi đó $F\left( e \right)=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+1$
(Vì): Ta có $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+C$. Từ $F\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}+\ln 1+C=\dfrac{3}{2} \Rightarrow C=1$.
$F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+1$. Vậy $F\left( e \right)=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+\ln e+1=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+1+1=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+2 \neq \dfrac{{{e}^{2}}}{2}+1$.
(Đúng) $F’\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
(Vì): Theo định nghĩa nguyên hàm, $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ khi và chỉ khi $F’\left( x \right)=f\left( x \right)$.
(Đúng) Biết rằng đồ thị của hàm số $F\left( x \right)$ đi qua $M\left( e;\dfrac{{{e}^{2}}}{2} \right)$. Khi đó $F\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}$
(Vì): Ta có $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+C$.
Vì đồ thị hàm số $F\left( x \right)$ đi qua $M\left( e;\dfrac{{{e}^{2}}}{2} \right)$ nên $F\left( e \right)=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}$.
$\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+\ln e+C=\dfrac{{{e}^{2}}}{2} \Rightarrow 1+C=0 \Rightarrow C=-1$.
Vậy $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x-1$.
Khi đó $F\left( 1 \right)=\dfrac{1^{2}}{2}+\ln 1-1=\dfrac{1}{2}+0-1=-\dfrac{1}{2}$.
(Đúng) $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\ln x+2025$
(Sai) Biết $F\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2}$, khi đó $F\left( e \right)=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+1$
(Đúng) $F’\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
(Đúng) Biết rằng đồ thị của hàm số $F\left( x \right)$ đi qua $M\left( e;\dfrac{{{e}^{2}}}{2} \right)$. Khi đó $F\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}$