Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}’\left( x \right)=8{{x}^{3}}+\sin x,\forall x\in \mathbb{R}$. Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau:
a) Hàm số $y=f\left( x \right)$ không phải là một nguyên hàm của hàm số ${f}’\left( x \right)$.
b) Biết $f\left( 0 \right)=3$. Khi đó, $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-\cos x+4$.
c) $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( 2{{x}^{4}}-\cos x+4 \right)\text{d}x=\dfrac{2}{5}{{x}^{5}}-\sin x+4x}}+C$, với $C$ là hằng số.
d) Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thoả mãn $F\left( 0 \right)=2$. Khi đó, $F\left( 1 \right)=\dfrac{33}{5}-\sin 1$.
Lời giải: (
(Sai) Hàm số $y=f\left( x \right)$ không phải là một nguyên hàm của hàm số ${f}’\left( x \right)$.
(Vì): Hàm số $y=f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số ${f}’\left( x \right)$ theo định nghĩa.
(Đúng) Biết $f\left( 0 \right)=3$. Khi đó, $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-\cos x+4$.
(Vì): Ta có: $\int{{f}’\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( 8{{x}^{3}}+\sin x \right)\text{d}x=2{{x}^{4}}-\cos x}}+{{C}_{1}}$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số ${f}’\left( x \right)$ và $f\left( 0 \right)=3$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-\cos x+{{C}_{1}} \\ f\left( 0 \right)=3 \end{array} \right.$
Vì $f\left( 0 \right)=3\Rightarrow {{C}_{1}}=4\Rightarrow f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-\cos x+4$.
(Đúng) $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( 2{{x}^{4}}-\cos x+4 \right)\text{d}x=\dfrac{2}{5}{{x}^{5}}-\sin x+4x}}+C$, với $C$ là hằng số.
(Vì): Từ phát biểu trên, ta có $f(x)=2x^4-\cos x+4$.
Do đó, $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( 2{{x}^{4}}-\cos x+4 \right)\text{d}x=\dfrac{2}{5}{{x}^{5}}-\sin x+4x}}+C$.
(Sai) Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thoả mãn $F\left( 0 \right)=2$. Khi đó, $F\left( 1 \right)=\dfrac{33}{5}-\sin 1$.
(Vì): Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thoả mãn $F\left( 0 \right)=2$.
Từ phát biểu trên, ta có $f(x)=2x^4-\cos x+4$.
Do đó, $F\left( x \right)=\dfrac{2}{5}{{x}^{5}}-\sin x+4x+C$.
Vì $F\left( 0 \right)=2\Rightarrow C=2\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{2}{5}{{x}^{5}}-\sin x+4x+2$.
Vậy $F\left( 1 \right)=\dfrac{2}{5}{{(1)}^{5}}-\sin 1+4(1)+2 = \dfrac{2}{5}-\sin 1+6 = \dfrac{32}{5}-\sin 1$.
(Sai) Hàm số $y=f\left( x \right)$ không phải là một nguyên hàm của hàm số ${f}’\left( x \right)$.
(Đúng) Biết $f\left( 0 \right)=3$. Khi đó, $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-\cos x+4$.
(Đúng) $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( 2{{x}^{4}}-\cos x+4 \right)\text{d}x=\dfrac{2}{5}{{x}^{5}}-\sin x+4x}}+C$, với $C$ là hằng số.
(Sai) Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thoả mãn $F\left( 0 \right)=2$. Khi đó, $F\left( 1 \right)=\dfrac{33}{5}-\sin 1$.