Cho hàm số $f\left( x \right)=2x-3\cos x$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)=2+3\sin x$
b) Một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x-3\cos x$ là $h\left( x \right)={{x}^{2}}-3\sin x+2024$
c) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn điều kiện $\ F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=3$ là $F\left( x \right)={{x}^{2}}-3\sin x+6-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{4}$
d) $f\left( x \right)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}$, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ${k}’\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}$ là $3\sin x+3\cos x-2x+C$
Lời giải: (
(Đúng) $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)=2+3\sin x$
(Vì): Ta có ${f}’\left( x \right) = \left( 2x-3\cos x \right)’ = 2-3(-\sin x) = 2+3\sin x = g\left( x \right)$.
Vậy $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)=2+3\sin x$.
(Đúng) Một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x-3\cos x$ là $h\left( x \right)={{x}^{2}}-3\sin x+2024$
(Vì): Ta có ${h}’\left( x \right) = \left( {{x}^{2}}-3\sin x+2024 \right)’ = 2x-3\cos x$.
Vì ${h}’\left( x \right) = f\left( x \right)$, nên $h\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x-3\cos x$.
(Đúng) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn điều kiện $\ F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=3$ là $F\left( x \right)={{x}^{2}}-3\sin x+6-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{4}$
(Vì): Ta có $\int{\left( 2x-3\cos x \right)\text{d}x} = {{x}^{2}}-3\sin x+C$.
Theo điều kiện $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=3$, ta có: $\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2}-3\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+C=3 \Leftrightarrow \dfrac{{\pi}^{2}}{4}-3(1)+C=3 \Leftrightarrow C=6-\dfrac{{\pi}^{2}}{4}$.
Vậy $F\left( x \right)={{x}^{2}}-3\sin x+6-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{4}$ là đúng.
(Đúng) $f\left( x \right)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}$, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ${k}’\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}$ là $3\sin x+3\cos x-2x+C$
(Vì): Nếu $f\left( x \right)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}$, thì ${f}’\left( x \right)=k\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}$.
Ta có ${f}’\left( x \right)=2+3\sin x \Rightarrow k\left( x \right)=\dfrac{2+3\sin x}{{{\text{e}}^{x}}}$.
Tính ${k}’\left( x \right) = \dfrac{(3\cos x){{\text{e}}^{x}} – (2+3\sin x){{\text{e}}^{x}}}{({{\text{e}}^{x}})^2} = \dfrac{3\cos x – 2 – 3\sin x}{{{\text{e}}^{x}}}$.
Do đó ${k}’\left( x \right).{{\text{e}}^{x}} = 3\cos x – 3\sin x – 2$.
Khi đó $\int{{k}’\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}\text{d}x} = \int{\left( 3\cos x – 3\sin x – 2 \right)\text{d}x} = 3\sin x+3\cos x-2x+C$.
Mệnh đề là đúng.
(Đúng) $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right)=2+3\sin x$
(Đúng) Một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x-3\cos x$ là $h\left( x \right)={{x}^{2}}-3\sin x+2024$
(Đúng) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn điều kiện $\ F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=3$ là $F\left( x \right)={{x}^{2}}-3\sin x+6-\dfrac{{{\pi }^{2}}}{4}$
(Đúng) $f\left( x \right)=2x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}$, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ${k}’\left( x \right).{{\text{e}}^{x}}$ là $3\sin x+3\cos x-2x+C$