Một bể chứa ban đầu có 250 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 25 lít nước, đồng thời cho vào bể 8 gam chất khử khuẩn $\left( \text{Cl}{{\text{O}}_{2}} \right)$ được hòa tan. Giả sử $C\left( t \right)$ là nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau $t$ phút (với $C\left( t \right)=\dfrac{m\left( t \right)}{V\left( t \right)}$, đơn vị gam/lít, trong đó $m\left( t \right)$ là khối lượng chất khử khuẩn trong bể và $V\left( t \right)$ là thể tích nước trong bể). Gọi $c$ là số dương nhỏ nhất mà nồng độ chất khử khuẩn là $C\left( t \right)$ tăng theo thời gian t nhưng không vượt quá ngưỡng $c$ gam/lít. Tìm $c$
Lời giải
Nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau $t$ phút là $C\left( t \right)=\dfrac{8t}{25t+250},t{>}0$
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $C\left( t \right)$ trên khoảng xác định
Ta có: ${C}’\left( t \right)=\dfrac{2000}{{{(25t+250)}^{2}}}{>}0,\forall t{>}0$
Do đó $C\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Ta có: $\lim\limits_{t\to +\infty } \dfrac{8t}{25t+250}=\dfrac{8}{25}=0,32$
Vậy nồng độ chất khử khuẩn tăng theo thời gian và không vượt quá 0,32
Đáp án: 0,32