Một bể chứa ban đầu có 250 lít nước

Một bể chứa ban đầu có 250 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 25 lít nước, đồng thời cho vào bể 8 gam chất khử khuẩn $\left( \text{Cl}{{\text{O}}_{2}} \right)$ được hòa tan. Giả sử $C\left( t \right)$ là nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau $t$ phút (với $C\left( t \right)=\dfrac{m\left( t \right)}{V\left( t \right)}$, đơn vị gam/lít, trong đó $m\left( t \right)$ là khối lượng chất khử khuẩn trong bể và $V\left( t \right)$ là thể tích nước trong bể). Gọi $c$ là số dương nhỏ nhất mà nồng độ chất khử khuẩn là $C\left( t \right)$ tăng theo thời gian t nhưng không vượt quá ngưỡng $c$ gam/lít. Tìm $c$

Lời giải

Nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau $t$ phút là $C\left( t \right)=\dfrac{8t}{25t+250},t{>}0$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $C\left( t \right)$ trên khoảng xác định

Ta có: ${C}’\left( t \right)=\dfrac{2000}{{{(25t+250)}^{2}}}{>}0,\forall t{>}0$

Do đó $C\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$

Ta có: $\lim\limits_{t\to +\infty } \dfrac{8t}{25t+250}=\dfrac{8}{25}=0,32$

Vậy nồng độ chất khử khuẩn tăng theo thời gian và không vượt quá 0,32

Đáp án: 0,32