Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$. Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}$. Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C\left( x \right)=100+30x$ triệu đồng .

a) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $600$ triệu đồng.

b) $A$ bán cho $B$ khoảng $75$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được khi bán $x$ tấn sản phẩm $\left( 0\le x\le 100 \right)$ cho $B$ là $H\left( x \right)=-0,001{{x}^{3}}+15x-50$.

d) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $400$ triệu đồng.

Lời giải:
Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C\left( 10 \right)=100+30\cdot 10=400$ triệu đồng.
Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $R\left( 10 \right)=10\cdot P\left( 10 \right)=10\cdot \left( 45-0,001\cdot {{10}^{2}} \right)=449$ triệu đồng.
Lợi nhuận mà $A$ thu được là: $H\left( x \right)=R\left( x \right)-C\left( x \right)=xP\left( x \right)-C\left( x \right)=x\left( 45-0,001{{x}^{2}} \right)-\left( 100+30x \right)=-0,001{{x}^{3}}+15x-100$.
Xét hàm số $H\left( x \right)=-0,001{{x}^{3}}+15x-100$, $\left( 0\le x\le 100 \right)$ ta có ${H}’\left( x \right)=-0,003{{x}^{2}}+15$.
Đặt ${H}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow -0,003{{x}^{2}}+15=0\Leftrightarrow 0,003{{x}^{2}}=15\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{15}{0,003}=5000\Leftrightarrow x=\sqrt{5000}=50\sqrt{2}$.
Ta có $H\left( 0 \right)=-100$; $H\left( 50\sqrt{2} \right)=500\sqrt{2}-100$; $H\left( 100 \right)=400$.
Vậy $A$ bán cho $B$ khoảng $50\sqrt{2}\approx 70,7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng $H\left( 50\sqrt{2} \right)=500\sqrt{2}-100$.
(Sai) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $600$ triệu đồng.
(Vì): Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là $R\left( 10 \right)=10\cdot P\left( 10 \right)=10\cdot \left( 45-0,001\cdot {{10}^{2}} \right)=449$ triệu đồng.
(Sai) $A$ bán cho $B$ khoảng $75$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.
(Vì): Lợi nhuận lớn nhất đạt được khi $x=50\sqrt{2}\approx 70,7$ tấn sản phẩm.
(Sai) Lợi nhuận mà $A$ thu được khi bán $x$ tấn sản phẩm $\left( 0\le x\le 100 \right)$ cho $B$ là $H\left( x \right)=-0,001{{x}^{3}}+15x-50$.
(Vì): Lợi nhuận $H\left( x \right)=xP\left( x \right)-C\left( x \right)=x\left( 45-0,001{{x}^{2}} \right)-\left( 100+30x \right)=-0,001{{x}^{3}}+15x-100$.
(Đúng) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $400$ triệu đồng.
(Vì): Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C\left( 10 \right)=100+30\cdot 10=400$ triệu đồng.