Chi phí nhiên liệu của một chiếc tầu chạy trên sông được chia làm hai phần

Chi phí nhiên liệu của một chiếc tầu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng $480$ nghìn đồng trên $1$ giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi $v=10$ thì phần thứ hai bằng $30$ nghìn đồng/giờ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Khi vận tốc $v=10$ thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên $1km$ đường sông là 48000 đồng.

b) Khi vận tốc $v=30$ thì tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông là 4300 đồng.

c) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông với vận tốc $x(km/h)$ là $f(x)=\dfrac{480}{x}+0,03{{x}^{3}}$.

d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông nhỏ nhất là $v=20$.

Lời giải:
Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của tàu, điều kiện $x{>}0$.
Thời gian tàu chạy quãng đường $1km$ là: $\dfrac{1}{x}$ (giờ).
Chi phí nhiên liệu được chia làm hai phần:
Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng $480$ nghìn đồng/giờ.
Chi phí phần thứ nhất trên $1km$ là: $\dfrac{1}{x} \cdot 480 = \dfrac{480}{x}$ (nghìn đồng).
Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, tức là $p = k{{x}^{3}}$ (nghìn đồng/giờ).
Khi $x=10$, chi phí phần thứ hai bằng $30$ nghìn đồng/giờ.
Ta có: $k \cdot {{10}^{3}} = 30 \Rightarrow 1000k = 30 \Rightarrow k = 0,03$.
Vậy chi phí phần thứ hai là $0,03{{x}^{3}}$ (nghìn đồng/giờ).
Chi phí phần thứ hai trên $1km$ là: $\dfrac{1}{x} \cdot 0,03{{x}^{3}} = 0,03{{x}^{2}}$ (nghìn đồng).
Tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông là hàm số $f(x) = \dfrac{480}{x} + 0,03{{x}^{2}}$ (nghìn đồng/km).

Kiểm tra các mệnh đề:
**Mệnh đề 1:** Khi vận tốc $v=10$ thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên $1km$ đường sông là 48000 đồng.
Chi phí phần thứ nhất trên $1km$ tại $v=10$ là: $\dfrac{480}{10} = 48$ nghìn đồng $= 48000$ đồng. Mệnh đề này **Đúng**.

**Mệnh đề 2:** Khi vận tốc $v=30$ thì tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông là 43000 đồng.
Tổng chi phí trên $1km$ tại $v=30$ là: $f(30) = \dfrac{480}{30} + 0,03 \cdot {{30}^{2}} = 16 + 0,03 \cdot 900 = 16 + 27 = 43$ nghìn đồng $= 43000$ đồng. Mệnh đề này **Đúng**.

**Mệnh đề 3:** Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông với vận tốc $x(km/h)$ là $f(x)=\dfrac{480}{x}+0,03{{x}^{3}}$.
Như đã phân tích ở trên, hàm số tổng chi phí là $f(x)=\dfrac{480}{x}+0,03{{x}^{2}}$. Mệnh đề này **Sai**.

**Mệnh đề 4:** Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông nhỏ nhất là $v=20$.
Để tìm vận tốc để tổng chi phí nhỏ nhất, ta xét hàm $f(x)=\dfrac{480}{x}+0,03{{x}^{2}}$.
Tính đạo hàm $f'(x) = -\dfrac{480}{{{x}^{2}}} + 0,06x$.
Cho $f'(x)=0 \Leftrightarrow -\dfrac{480}{{{x}^{2}}} + 0,06x = 0 \Leftrightarrow 0,06x = \dfrac{480}{{{x}^{2}}} \Leftrightarrow 0,06{{x}^{3}} = 480 \Leftrightarrow {{x}^{3}} = \dfrac{480}{0,06} = 8000 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{8000} = 20$.
Lập bảng biến thiên (hoặc dùng đạo hàm cấp 2 $f”(x) = \dfrac{960}{x^3} + 0,06 {>} 0$ với $x{>}0$) ta thấy $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=20$. Mệnh đề này **Đúng**.
(Có thể dùng bất đẳng thức Cô-si: $f(x) = \dfrac{480}{x} + 0,03{{x}^{2}} = \dfrac{240}{x} + \dfrac{240}{x} + 0,03{{x}^{2}} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{240}{x} \cdot \dfrac{240}{x} \cdot 0,03{{x}^{2}}} = 3\sqrt[3]{240 \cdot 240 \cdot 0,03} = 3\sqrt[3]{1728} = 3 \cdot 12 = 36$.
Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{240}{x} = 0,03{{x}^{2}} \Leftrightarrow 0,03{{x}^{3}} = 240 \Leftrightarrow {{x}^{3}} = 8000 \Leftrightarrow x=20$.)
(Đúng) Khi vận tốc $v=10$ thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên $1km$ đường sông là 48000 đồng.
(Vì): Chi phí phần thứ nhất mỗi giờ là $480$ nghìn đồng. Thời gian chạy $1km$ với vận tốc $v=10$ km/h là $\dfrac{1}{10}$ giờ. Do đó, chi phí phần thứ nhất trên $1km$ là $480 \times \dfrac{1}{10} = 48$ nghìn đồng $= 48000$ đồng.
(Sai) Khi vận tốc $v=30$ thì tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông là 4300 đồng.
(Vì): Hàm chi phí trên $1km$ là $f(x)=\dfrac{480}{x}+0,03{{x}^{2}}$ (nghìn đồng/km).
Khi $v=30$, tổng chi phí là $f(30)=\dfrac{480}{30}+0,03 \times {{30}^{2}} = 16+0,03 \times 900 = 16+27 = 43$ nghìn đồng $= 43000$ đồng.
(Sai) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông với vận tốc $x(km/h)$ là $f(x)=\dfrac{480}{x}+0,03{{x}^{3}}$.
(Vì): Chi phí phần thứ nhất trên $1km$ là $\dfrac{480}{x}$ (nghìn đồng/km).
Chi phí phần thứ hai trên $1km$ là $0,03{{x}^{3}} \times \dfrac{1}{x} = 0,03{{x}^{2}}$ (nghìn đồng/km).
Vậy tổng chi phí là $f(x)=\dfrac{480}{x}+0,03{{x}^{2}}$ (nghìn đồng/km).
(Đúng) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên $1km$ đường sông nhỏ nhất là $v=20$.
(Vì): Để tổng chi phí nhiên liệu trên $1km$ đường sông nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\dfrac{480}{x}+0,03{{x}^{2}}$ với $x{>}0$.
Ta có $f'(x) = -\dfrac{480}{x^2} + 0,06x$.
$f'(x)=0 \Leftrightarrow 0,06x = \dfrac{480}{x^2} \Leftrightarrow 0,06x^3 = 480 \Leftrightarrow x^3 = \dfrac{480}{0,06} = 8000 \Leftrightarrow x=20$.
Bảng biến thiên cho thấy $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=20$.
Hoặc dùng Bất đẳng thức Cô-si: $f(x) = \dfrac{240}{x} + \dfrac{240}{x} + 0,03{{x}^{2}} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{240}{x}\cdot\dfrac{240}{x}\cdot0,03{{x}^{2}}} = 3\sqrt[3]{240 \times 240 \times 0,03} = 3\sqrt[3]{1728} = 3 \times 12 = 36$.
Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{240}{x} = 0,03{{x}^{2}} \Leftrightarrow 0,03x^3 = 240 \Leftrightarrow x^3 = 8000 \Leftrightarrow x=20$.