Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao của một vật thể sau thời gian t giây được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất $5$ mét với tốc độ ban đầu $39,2$ m/s là $h\left( t \right)=5+39,2t-4,9{{t}^{2}}$, hiều dương là chiều hướng từ dưới lên

Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao của một vật thể sau thời gian t giây được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất $5$ mét với tốc độ ban đầu $39,2$ m/s là $h\left( t \right)=5+39,2t-4,9{{t}^{2}}$, hiều dương là chiều hướng từ dưới lên. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Vật đạt độ cao lớn nhất bằng $83,4$ mét tại thời điểm $t=4$ giây.

b) Khoảng thời gian vật ở độ cao trên 10 mét nhỏ hơn 7 giây.

c) Vận tốc của vật lúc vật chạm đất sấp xỉ $-30,43(m/s)$.

d) Vận tốc của vật sau 3 giây là $9,8m/s$.

Lời giải: Vận tốc của vật tại thời điểm t giây là $v\left( t \right)={h}’\left( t \right)=39,2-9,8t$.
Vì $h\left( t \right)$ là hàm số bậc hai có hệ số $a=-4,9{
Vật ở độ cao trên 10 mét khi $h\left( t \right){>}10\Leftrightarrow 5+39,2t-4,9{{t}^{2}}{>}10\Leftrightarrow -4,9{{t}^{2}}+39,2t-5{>}0$. Nghiệm của $-4,9{{t}^{2}}+39,2t-5=0$ là $t_1=\dfrac{28-\sqrt{734}}{7}$ và $t_2=\dfrac{28+\sqrt{734}}{7}$.
Vậy khoảng thời gian vật ở độ cao trên 10 mét là $t_2-t_1 = \dfrac{2\sqrt{734}}{7}\approx 7,74$ giây.
Vật chạm đất khi $h\left( t \right)=0\Leftrightarrow 5+39,2t-4,9{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow -4,9{{t}^{2}}+39,2t+5=0$. Nghiệm dương của phương trình là $t=\dfrac{39,2+\sqrt{39,2^2-4\left(-4,9\right)\left(5\right)}}{2\left(4,9\right)}=\dfrac{39,2+\sqrt{1634,64}}{9,8}=\dfrac{28+\sqrt{834}}{7}$ giây.
Vận tốc của vật lúc chạm đất là $v\left( \dfrac{28+\sqrt{834}}{7} \right)=39,2-9,8\left( \dfrac{28+\sqrt{834}}{7} \right)=-1,4\sqrt{834}\approx -40,43\left( m/s \right)$.
Vận tốc của vật sau 3 giây là $v\left( 3 \right)=39,2-9,8\left( 3 \right)=9,8m/s$.
(Đúng) Vật đạt độ cao lớn nhất bằng $83,4$ mét tại thời điểm $t=4$ giây.
(Vì): Vận tốc của vật tại thời điểm t giây là $v\left( t \right)={h}’\left( t \right)=39,2-9,8t$.
Vì $h\left( t \right)$ là hàm số bậc hai có hệ số $a=-4,9{
(Sai) Khoảng thời gian vật ở độ cao trên 10 mét nhỏ hơn 7 giây.
(Vì): Vật ở độ cao trên 10 mét khi $h\left( t \right){>}10\Leftrightarrow 5+39,2t-4,9{{t}^{2}}{>}10\Leftrightarrow -4,9{{t}^{2}}+39,2t-5{>}0$. Nghiệm của $-4,9{{t}^{2}}+39,2t-5=0$ là $t_1=\dfrac{28-\sqrt{734}}{7}$ và $t_2=\dfrac{28+\sqrt{734}}{7}$.
Khoảng thời gian vật ở độ cao trên 10 mét dài $t_2-t_1 = \dfrac{28+\sqrt{734}}{7}-\dfrac{28-\sqrt{734}}{7}=\dfrac{2\sqrt{734}}{7}\approx 7,74$ giây. Vì $7,74 {>} 7$, nên mệnh đề sai.
(Sai) Vận tốc của vật lúc vật chạm đất sấp xỉ $-30,43(m/s)$.
(Vì): Vật chạm đất khi độ cao bằng $0$, tức là $h\left( t \right)=0\Leftrightarrow 5+39,2t-4,9{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow -4,9{{t}^{2}}+39,2t+5=0$. Nghiệm dương của phương trình là $t=\dfrac{-39,2-\sqrt{39,2^2-4\left(-4,9\right)\left(5\right)}}{2\left(-4,9\right)}=\dfrac{39,2+\sqrt{1634,64}}{9,8}=\dfrac{28+\sqrt{834}}{7}$ giây.
Khi đó vận tốc của vật là $v\left( \dfrac{28+\sqrt{834}}{7} \right)=39,2-9,8\left( \dfrac{28+\sqrt{834}}{7} \right)=39,2-1,4\left( 28+\sqrt{834} \right)=-1,4\sqrt{834}\approx -40,43\left( m/s \right)$.
(Đúng) Vận tốc của vật sau 3 giây là $9,8m/s$.
(Vì): Vận tốc của vật tại thời điểm t giây là $v\left( t \right)={h}’\left( t \right)=39,2-9,8t$.
Vận tốc của vật sau 3 giây là $v\left( 3 \right)=39,2-9,8\left( 3 \right)=39,2-29,4=9,8m/s$.