Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln x-2{{x}^{2}}$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln x-2{{x}^{2}}$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.

a) Hàm số trên luôn đồng biến trên tập xác định.
.

b) $f\left( 1 \right)=-2;f\left( {{\text{e}}^{2}} \right)=2-2{{\text{e}}^{4}}.$
.

c) Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị.
.

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]$ là $-\dfrac{5}{2}-\ln 2.$
.

Lời giải: Ta có: ${y}’={f}’\left( x \right)={{\left( \ln x-2{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=\dfrac{1}{x}-4x\ge 0$ khi $x\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right]$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$.Đúng
Ta có: $f\left( 1 \right)=\ln 1-{{2.1}^{2}}=-2$
$f\left( {{\text{e}}^{2}} \right)=\ln {{\text{e}}^{2}}-2.{{\left( {{\text{e}}^{2}} \right)}^{2}}=2-2.{{\text{e}}^{4}}$.Sai
Ta có: ${f}’\left( x \right)=\dfrac{1}{x}-4x=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{2} \\ x=-\dfrac{1}{2}\left( \text{KTMK} \right) \end{array} \right]$. Vậy hàm số có một điểm cực trị.Sai
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right)=-2 \\ f\left( {{\text{e}}^{2}} \right)=2-2.{{\text{e}}^{4}} \\ f\left( \dfrac{1}{2} \right)=-\ln 2-\dfrac{1}{2} \end{array} \right\}$. Vậy $\left\{ \begin{array}{l} \min\limits_{\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]}f\left( x \right)=2-2.{{\text{e}}^{4}} \\ \min\limits_{\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]}f\left( x \right)=-\ln 2-\dfrac{1}{2} \end{array} \right\}$.
Nên $\max\limits_{\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]}f\left( x \right)+\min\limits_{\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]}f\left( x \right)=\dfrac{3}{2}-\ln 2-2.{{\text{e}}^{4}}.$
(Sai) Hàm số trên luôn đồng biến trên tập xác định.

(Vì): Ta có: $f’\left( x \right)=\dfrac{1}{x}-4x = \dfrac{1-4x^2}{x}$. Với $x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$, $f’\left( x \right) {
(Đúng) $f\left( 1 \right)=-2;f\left( {{\text{e}}^{2}} \right)=2-2{{\text{e}}^{4}}.$

(Vì): Ta có: $f\left( 1 \right)=\ln 1-2 \cdot 1^2=-2$.
$f\left( {{\text{e}}^{2}} \right)=\ln {{\text{e}}^{2}}-2 \cdot \left( {{\text{e}}^{2}} \right)^2=2-2{{\text{e}}^{4}}$. Cả hai giá trị đều đúng.
(Đúng) Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị.

(Vì): Ta có: $f’\left( x \right)=\dfrac{1}{x}-4x=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ (vì $x \in (0;+\infty)$). Hàm số có một điểm cực trị tại $x=\dfrac{1}{2}$.
(Sai) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]$ là $-\dfrac{5}{2}-\ln 2.$

(Vì): Trên đoạn $\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]$, hàm số $f(x)$ nghịch biến vì $f'(x) {
Do đó: $\max\limits_{\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]}f\left( x \right) = f(1) = -2$.
$\min\limits_{\left[ 1;{{\text{e}}^{2}} \right]}f\left( x \right) = f(e^2) = 2 – 2e^4$.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là $f(1) + f(e^2) = -2 + (2 – 2e^4) = -2e^4$.
Giá trị $-\dfrac{5}{2}-\ln 2$ là sai.