Hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu:

Câu hỏi mẫu thuộc dạng bài khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Kiến thức liên quan là đạo hàm của hàm số và điều kiện đủ để hàm số đồng biến/nghịch biến trên một khoảng. Mức độ của câu hỏi là trung bình. Phương pháp giải là tính đạo hàm của từng hàm số, sau đó xét dấu đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Nếu đạo hàm luôn không âm ($f'(x) \ge 0$) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Nếu đạo hàm luôn không dương ($f'(x) \le 0$) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y = -x^3 + 2x – 1$
B. $y = x^4 – 2x^2 + 3$
C. $y = x^3 + 3x + 2$
D. $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

Lời giải
A. $y’ = -3x^2 + 2$. $y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$. Hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1)$. $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = \pm 1$. Hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
C. $y’ = 3x^2 + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
D. $y’ = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2}$. $y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
*Đáp án C*

Câu 2: Hàm số nào nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$?
A. $y = x^3 – 3x + 1$
B. $y = -x^2 + 4x – 2$
C. $y = e^x$
D. $y = \ln(x)$

Lời giải
A. $y’ = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1)$. $y’ < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1$. Hàm số không nghịch biến trên $(1;3)$.
B. $y’ = -2x + 4 = -2(x – 2)$. $y’ < 0 \Leftrightarrow x > 2$. Hàm số nghịch biến trên $(2; 3)$.
C. $y’ = e^x > 0, \forall x$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
D. $y’ = \frac{1}{x} > 0$ với $x \in (1; 3)$. Hàm số đồng biến trên $(1; 3)$.
*Đáp án B*

Câu 3: Khoảng đồng biến của hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 2$ là:
A. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$
B. $(1; 3)$
C. $(-\infty; 1)$
D. $(3; +\infty)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x – 1)(x – 3)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
$y’ > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 3$.
*Đáp án A*

Câu 4: Hàm số nào đồng biến trên khoảng $(0; 1)$?
A. $y = x^3 – 3x + 1$
B. $y = -x^2 + 2x$
C. $y = \frac{1}{x}$
D. $y = e^{-x}$

Lời giải
A. $y’ = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1)$. $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Hàm số không đồng biến trên $(0;1)$.
B. $y’ = -2x + 2$. $y’ > 0$ khi $x < 1$. Hàm số đồng biến trên $(0;1)$.
C. $y’ = -\frac{1}{x^2} < 0$ với $x \in (0;1)$. Hàm số nghịch biến trên $(0;1)$.
D. $y’ = -e^{-x} < 0$ với $x \in (0;1)$. Hàm số nghịch biến trên $(0;1)$.
*Đáp án B*

Câu 5: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1$
A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; +\infty)$
C. $\mathbb{R}$
D. $(-\infty; 0)$

Lời giải
$y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x^2 – 2x + 1) = -3(x – 1)^2 \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
*Đáp án C*

Câu 6: Hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(1; +\infty)$
B. $(-\infty; 1)$
C. $\mathbb{R}$
D. $(-\infty; 0)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x – 1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
*Đáp án C*

Câu 7: Hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x + 1}$ nghịch biến trên khoảng:
A. $(-\infty; -2) \cup (-1; 0)$
B. $(-2; -1) \cup (0; +\infty)$
C. $(-2; -1) \cup (0; +\infty)$
D. $(-1,+\infty)$

Lời giải
$y’ = \frac{2x(x+1) – (x^2+1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x – 1}{(x+1)^2}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$
$y’ < 0 \Leftrightarrow -1 - \sqrt{2} < x < -1$ hoặc $-1 < x < -1 + \sqrt{2}$
*Đáp án A*

Câu 8: Hàm số $y = \frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}$ nghịch biến trên khoảng:
A. $(0; +\infty)$
B. $(-\infty; 0)$
C. $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$
D. $\mathbb{R}$

Lời giải
$y’ = \frac{2x(x^2+1) – 2x(x^2 – 1)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$
$y’ < 0 \Leftrightarrow x < 0$
*Đáp án B*

Câu 9: Hàm số $y = x^4 – 2x^2$ đồng biến trên khoảng:
A. $(-\infty; -1) \cup (0; 1)$
B. $(-1; 0) \cup (1; +\infty)$
C. $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
D. $(-1; 0) \cup (0; 1)$

Lời giải
$y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x-1)(x+1)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1, x = 0, x = 1$
$y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$
*Đáp án B*

Câu 10: Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = x^3 – 3x + 2$.
A. $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
B. $(-1; 1)$
C. $(-\infty; -1)$
D. $(1; +\infty)$

Lời giải
$y’ = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x-1)(x+1)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$
$y’ > 0 \Leftrightarrow x < -1$ hoặc $x > 1$
*Đáp án A*