Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, coi Trái Đất là một hình cầu có tâm là gốc tọa độ và có bán kính bằng 16 (đơn vị dài trên mỗi hệ trục tọa độ là 400 km ). Coi tầng điện ly luôn cách bề mặt Trái Đất 400 km , tức là tầng điện li là một mặt cầu có tâm là gốc tọa độ $O$

Bài toán: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, coi Trái Đất là một hình cầu có tâm là gốc tọa độ và có bán kính bằng 16 (đơn vị dài trên mỗi hệ trục tọa độ là 400 km ). Coi tầng điện ly luôn cách bề mặt Trái Đất 400 km , tức là tầng điện li là một mặt cầu có tâm là gốc tọa độ $O$. Từ một đài phát $A$ đặt tại điểm $A\left(16;0;0\right)$ có phát một sóng điện từ với tần số 10 MHz lên trên cao (với tốc độ không đổi bằng $3.10^{8}\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$ ) hướng theo vectơ $\vec u=\left(1;2;0\right)$, sóng điện từ này gặp tầng điện ly tại điểm $B$, sau đó bị phản xạ và truyền trả lại gặp bề mặt Trái Đất tại điểm $C$. Biết rằng tính chất phản xạ cho ta kết quả là: bốn điểm $O,A,B,C$ thẳng hàng và $ABO=OBC,AOB=BOC$

a) Tầng điện ly là một mặt cầu có tâm $O$ và bán kính 16 b) Phương trình tham số của đường thằng $AB$ là: $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=16+t\\y=2t\\z=0\end{array}\mathrm{\,\;}\left(t\in \mathbb{R}\right)\right. $ c) Nếu tọa độ điểm $B$ là $\left(a;b;c\right)$ thì ta có $(a+2b+c)^{2}=256$ d) Tính theo đơn vị km (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) thì quãng đường thực tế lớn nhất đi được giữa $A$ cad $C$ ở bề mặt Trái Đất khoảng 1361km. Lòi giải a) Đúng: Ta có tầng điện li luôn cách bề mặt Trái Đất 400 km tương ứng với 1 đơn vị độ dài trong hệ trục tọa độ Oxyz nên khi đó: Tầng điện li là một mặt cầu tâm $O$ và bán kính bằng $R=16+1=17$. Khi ấy ta có phương trình mặt cầu tầng điện $\mathrm{\,li}\left({S’}\right):x^{2}+y^{2}+z^{2}=17^{2}$ b) Đúng: Đường thẳng $AB$ đi qua $A\left(16;0;0\right)$ với vectơ chi phương là $\vec u=\left(1;2;0\right)$ nên ta suy ra phương trình tham số của đường thẳng tương ứng là $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=16+t\\y=2t\\z=0\end{array}\mathrm{\,\;}\left(t\in \mathbb{R}\right)\right. $ c) Sai: Ta có $B=AB\cap \left({S’}\right)$ thì khi đó ta có tọa độ $B\left(16+t;2t;0\right)$, từ đó ta có phương trình: Do $\overrightarrow {AB} =k.\vec u$ nên $y_{B}-y_{A}=k>0\Rightarrow y_{B}=2t>0\Rightarrow t>0$ tức ta nhận $t=t_{0}=\dfrac{-16+\sqrt {421} }{5}$ Suy ra $T=(a+2b+c)^{2}=\left(x_{B}+2y_{B}+z_{B}\right)^{2}=(5t+16)^{2}$, thế vào ta có được $T=421$ d) Sai: Trước hết từ hình vẽ dưới, ta có: $\mathrm{\,cos}\alpha =\mathrm{\,cos}AOB=\dfrac{\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} }{OA\cdot OB}=\dfrac{t_{0}+16}{17}\Rightarrow AOC=2AOB=2\dfrac{\pi }{180}\mathrm{\,arccos}\left(\dfrac{t_{0}+16}{17}\right)$ (radian) Gọi $\left(C\right)$ là đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt phẳng $\left(OABC\right)$ cắt mặt cầu $\left(S\right)$ tức Trái Đất.

Khi ấy quãng đường lớn nhất giữa hai điểm $A$ và $C$ chính là cung lớn $AC$ (kí hiệu là $L$ ) thuộc đường tròn $\left(C\right)$ như hình vẽ trên. Ta có chu vi đường tròn $\left(C\right)$ là $C=2\pi R_{td}=32\pi $ Và độ dài cung nhỏ $AC$ là $l=AOC\cdot R_{td}=\dfrac{8\pi }{45}\mathrm{\,arccos}\left(\dfrac{t_{0}+16}{17}\right)$ (công thức độ dài cung tròn) Suy ra quãng đường cần tìm là: $L=C-l=32\pi -\dfrac{8\pi }{45}\mathrm{\,arccos}\left(\dfrac{t_{0}+16}{17}\right)$ Với $t_{0}=\dfrac{-16+\sqrt {421} }{5}$ và 1 đơn vị dài $=400$ km thực tế, ta suy ra quãng đường thực tế lớn nhất cần tìm bằng $L_{tt}=400\mathrm{\,\;L}\approx 40189\mathrm{\,\;km}$.