Cho hàm số bậc ba \(f(x) = a{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} + cx + d\) và parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh nằm trên trục tung. Biết đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C có hoành độ lần lượt là \( – 2;1;2\) và thỏa mãn \(AB = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\) (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

A. \(\frac{{71}}{3}\).

B. \(\frac{{238}}{3}\).

C. \(\frac{{13}}{4}\).

D. \(\frac{{71}}{6}\).

Lời giải:

Vì parabol có đỉnh nằm trên trục tung nên ta gọi parabol \(y = g\left( x \right)\) có dạng \(g\left( x \right) = m{x^2} + n\) \(\left( {m > 0} \right)\).

Từ đồ thị ta thấy phương trình bậc ba \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt \( – 2;1;2\) nên\(\begin{array}{*{20}{l}}{a{x^3} – \left( {m + \frac{1}{2}} \right){x^2} + cx + d – n}&{ = f\left( x \right) – g\left( x \right) = a\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}\\{}&{ = a\left( {{x^3} – {x^2} – 4x + 4} \right)}\end{array}\).

Suy ra \(m + \frac{1}{2} = a\).

Mặt khác, do \(AB = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\) nên \(\frac{{45}}{4} = {\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_A} – {y_B}} \right)^2} = {3^2} + {\left( {g\left( { – 2} \right) – g\left( 1 \right)} \right)^2} = 9 + 9{m^2}\).

Với \(m > 0\), ta tìm được \(m = \frac{1}{2}\), suy ra \(a = 1\).

Vậy diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là

\(S = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {{x^3} – {x^2} – 4x + 4} \right|\,{\rm{d}}x} = \frac{{71}}{6}\).