Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – z – 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đối xứng với \(\left( P \right)\) qua \(\Delta \).
A. \(x + y – z + 9 = 0\).
B. \(x + y – z – 7 = 0\).
C. \(3x – 2y + z – 7 = 0\).
D. \(x + y – z = 0\).
Lời giải:
\(\Delta \) đi qua \(A\left( {1; – 2;3} \right)\) và nhận \(\vec u = \left( {3; – 2;1} \right)\) làm VTCP. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\vec n = \left( {1;1; – 1} \right)\) làm VTPT.
Ta có \(\vec u.\vec n = 3.1 – 2.1 – 1.1 = 0\) và dễ thấy \(A\) không thuộc \(\left( P \right)\), do đó \(\left( P \right)\euro \Delta \).
Lại có mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đối xứng với \(\left( P \right)\) qua \(\Delta \) nên \(\left( Q \right)\euro \left( P \right)\) do đó \(\left( Q \right)\) có một VTPT là \(\vec n = \left( {1;1; – 1} \right)\).
Chọn \(M\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)\) khi đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M\) và nhận \(\vec u = \left( {3; – 2;1} \right)\) làm VTPT có phương trình là \(3x – 2y + z – 3 = 0\).
Gọi \(H = \left( \alpha \right) \cap \Delta \), do \(H \in \Delta \) nên \(H\left( {1 + 3t; – 2 – 2t;3 + t} \right)\), mặt khác \(H \in \left( \alpha \right)\) nên
\(3\left( {1 + 3t} \right) – 2\left( { – 2 – 2t} \right) + 3 + t – 3 = 0 \Leftrightarrow t = – \frac{1}{2}\).
Suy ra \(H\left( { – \frac{1}{2}; – 1;\frac{5}{2}} \right)\), gọi \(M’\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(\Delta \), khi đó ta có \(H\) là trung điểm của \(MM’\) suy ra \(M’\left( { – 2; – 2;5} \right)\), do \(M \in \left( P \right)\) nên \(M’ \in \left( Q \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(M’\) và nhận \(\vec n = \left( {1;1; – 1} \right)\) làm VTPT có phương trình là
\(1\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y + 2} \right) – 1\left( {z – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y – z + 9 = 0\).