Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị của hàm đạo hàm f'(x) như hình vẽ và f(b)=1. Số giá trị nguyên của \(m \in [-5;5]\) để hàm số \(g\left(x\right)=\left|f^2\left(x\right)+4f\left(x\right)+m\right|\) có đúng 5 điểm cực trị là

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị của hàm đạo hàm f'(x) như hình vẽ và f(b)=1. Số giá trị nguyên của \(m\in[-5;5]\) để hàm số \(g\left(x\right)=\left|f^2\left(x\right)+4f\left(x\right)+m\right|\) có đúng 5 điểm cực trị là

A. \(8\).

B. \(10\).

C. \(9\).

D. \(7\).
LỜI GIẢI

Theo bài ra ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:

Đặt \(h\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + 4f\left( x \right) + m\).
Ta có: \(h’\left( x \right) = 2f\left( x \right).f’\left( x \right) + 4f’\left( x \right) = 2f’\left( x \right).\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]\).
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f'(x) = 0\\
f(x) = – 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = a\\
x = b\\
x = c,c < a \end{array} \right.\)
\(h\left( c \right) = {f^2}\left( c \right) + 4f\left( c \right) + m = m – 4\) với \(f\left( c \right) = – 2\); \(h\left( b \right) = {f^2}\left( b \right) + 4f\left( b \right) + m = m + 5\) với \(f\left( b \right) = 1\).
Bảng biến thiên của hàm số \(h\left( x \right)\):

Do \(m \in \left[ { – 5\,;\,5} \right]\) nên \(m + 5 \ge 0\) \( \Rightarrow h\left( a \right) > m + 5 \ge 0\).
Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) có đúng 5 điểm cực trị \( \Leftrightarrow m – 4 < 0 \le m + 5\) \( \Leftrightarrow – 5 \le m < 4\).
Do \(m\) nguyên và \(m \in \left[ { – 5\,;\,5} \right]\) nên \(m \in \left\{ { – 5\,;\, – 4\,;\, \pm 3\,;\, \pm 2\,;\, \pm 1\,;\,0} \right\}\).
Vậy có \(9\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.