Đề toán 2022 [2D3-3.1-4] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Đề toán 2022 [2D3-3.1-4] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {38\,;\,39} \right)\). B. \(\left( {25\,;\,26} \right)\). C. \(\left( {28\,;\,29} \right)\). D. \(\left( {35\,;\,36} \right)\).

Lời giải

+ Ta có: \(g’\left( x \right) = \frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\).

+ Từ bảng biến thiên ta thấy \(g\left( x \right) > \ln 10\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{g\left( x \right)}} > 10\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

+ Phương trình \(f’\left( x \right) = g’\left( x \right)\)

\( \Leftrightarrow g’\left( x \right).f\left( x \right) = g’\left( x \right) \Leftrightarrow g’\left( x \right).\left[ {f\left( x \right) – 1} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow g’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\\x = {x_3}\end{array} \right.\).

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) là

\(S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

\( = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left( {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| + \left| {\left. {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)} \right|_{{x_2}}^{{x_3}}} \right|\)

\( = \left| {\left. {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| + \left| {\left. {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)} \right|_{{x_2}}^{{x_3}}} \right| = \left| {\left( {42 – \ln 42} \right) – \left( {10 – \ln 10} \right)} \right| + \left| {\left( {37 – \ln 37} \right) – \left( {42 – \ln 42} \right)} \right|\)

\( \approx 35,438\).