Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = \ln \left( {f\left( x \right)} \right)\) có bảng biến thiên như sau

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = \ln \left( {f\left( x \right)} \right)\) có bảng biến thiên như sau

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A.\(\left( {5;6} \right)\). B.\(\left( {4;5} \right)\). C.\(\left( {2;3} \right)\). D.\(\left( {3;4} \right)\).

Lời giải

Ta có \(g\left( x \right) = \ln \left( {f\left( x \right)} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{g\left( x \right)}}\).

Từ bảng biến thiên ta có

\(g\left( {{x_1}} \right) = \ln \frac{{43}}{8} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) = \frac{{43}}{8}.\)

\(g\left( {{x_2}} \right) = \ln 6 \Rightarrow f\left( {{x_2}} \right) = 6.\)

\(g\left( {{x_3}} \right) = \ln 2 \Rightarrow f\left( {{x_3}} \right) = 2.\)

Ta có \(f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = g’\left( x \right).{e^{g\left( x \right)}} – g’\left( x \right) = g’\left( x \right)\left[ {{e^{g\left( x \right)}} – 1} \right]\).

          \(f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g’\left( x \right) = 0\\{e^{g\left( x \right)}} – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g’\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 0\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in \left\{ {{x_1},\,{x_2},\,{x_3}} \right\}.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\)là\(S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

\( = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left[ {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} } \right|\)

\( = \left| {\left. {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| + \left| {\left. {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]} \right|_{{x_2}}^{{x_3}}} \right|\)

\( = \left| {\left[ {f\left( {{x_2}} \right) – g\left( {{x_2}} \right)} \right] – \left[ {f\left( {{x_1}} \right) – g\left( {{x_1}} \right)} \right]} \right| + \left| {\left[ {f\left( {{x_3}} \right) – g\left( {{x_3}} \right)} \right] – \left[ {f\left( {{x_2}} \right) – g\left( {{x_2}} \right)} \right]} \right|\)

\( = \left| {\left( {6 – \ln 6} \right) – \left( {\frac{{43}}{8} – \ln \frac{{43}}{8}} \right)} \right| + \left| {\left( {2 – \ln 2} \right) – \left( {6 – \ln 6} \right)} \right|\)

\( \approx 3,42 \in \left( {3;4} \right)\).

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.