Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn\(\left( {{4^b} – 1} \right)\left( {a{{.3}^b} – 10} \right) < 0\)

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn\(\left( {{4^b} – 1} \right)\left( {a{{.3}^b} – 10} \right) < 0\)

A. \(182\). B. \(179\). C. \(180\). D. \(181\).

Lời giải

Xét \(\left( {{4^b} – 1} \right)\left( {a{{.3}^b} – 10} \right) = 0\). Do \(a \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = {\log _3}\frac{{10}}{a}\end{array} \right.\).

TH1: \({\log _3}\frac{{10}}{a} > 0 \Leftrightarrow a < 10\);\(a \in {\mathbb{Z}^ + }\).

BPT có đúng 2 nghiệm nguyên \(b \Leftrightarrow 2 < {\log _3}\frac{{10}}{a} \le 3 \Leftrightarrow 9 < \frac{{10}}{a} \le 27 \Rightarrow \frac{{10}}{{27}} \le a < \frac{{10}}{9} \Rightarrow a = 1\).

TH2: \({\log _3}\frac{{10}}{a} < 0 \Leftrightarrow a > 10\);\(a \in {\mathbb{Z}^ + }\).

BPT có đúng 2 nghiệm nguyên \(b \Leftrightarrow  – 3 \le {\log _3}\frac{{10}}{a} <  – 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{27}} \le \frac{{10}}{a} < \frac{1}{9} \Leftrightarrow 90 < a \le 270\). Từ đó có 180 giá trị \(a\)nguyên dương.

Vậy có 181 giá trị của \(a\) nguyên dương thỏa mãn.