(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Một trang tại cần xây dựng một bể chứa nước hình hộp chữ nhật bằng gạch không nắp ở phía trên. Biết bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và thể tích (phần chứa nước) bằng \(8\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Hỏi chiều cao của bể gần nhất với kết quả nào dưới đây để số lượng gạch dùng để xây bể là nhỏ nhất

Câu hỏi:

A. \(1,8\,{\mathop{\rm m}\nolimits} \).

B. \(1,3\,{\rm{m}}\).

C. \(1,1\,{\rm{m}}\).

D. \(1,2\,{\rm{m}}\).

Lời giải:

Chọn D

Chiều rộng bể và chiều dài bể lần lượt là \(x,2x(x > 0)\), chiều cao bể là \(h\), đơn vị \({\rm{m}}\).

Khi đó thể tích bể là \(x.2x.h = 8 \Rightarrow h = \frac{4}{{{x^2}}}\).

Diện tích cần xây dựng cho bể không nắp là

\(S = 2x.x + 2.2x.h + 2.x.h = 2{x^2} + 6xh = 2{x^2} + 6x.\frac{4}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{24}}{x}\).

Để số lượng gạch dùng để xây bể là nhỏ nhất thì diện tích cần xây dựng là nhỏ nhất

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM: \(2{x^2} + \frac{{24}}{x} = 2{x^2} + \frac{{12}}{x} + \frac{{12}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\frac{{12}}{x}.\frac{{12}}{x}}} = 2\sqrt[3]{{288}}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{{12}}{x} \Leftrightarrow {x^3} = 6 \Rightarrow x = \sqrt[3]{6}\).

Lúc này \(h = \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{4}{{{{\sqrt[3]{6}}^2}}} \approx 1,21\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện