(Chuyên Lam Sơn 2022) Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để phương trình \(m\left( {{e^x} – 1} \right) \cdot \ln (mx + 1) + 2{e^x} = {e^{2x}} + 1\) có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5.

A. \(26.\)

B. 27.

C. \(29.\)

D. 28.

Lời giải:

Xét phương trình \(m\left( {{e^x} – 1} \right) \cdot \ln (mx + 1) + 2{e^x} = {e^{2x}} + 1(*)\) điều kiện \(mx + 1 > 0\)

\((*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^x} – 1 = 0}\\{{e^x} – 1 = m \cdot \ln (mx + 1)}\end{array}} \right.\)

\({e^x} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\) \({e^x} – 1 = m \cdot \ln (mx + 1)\),

Đặt \(y = \ln (mx + 1) \Rightarrow {e^x} – 1 = my.\) Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \ln (my + 1)(1)}\\{y = \ln (mx + 1)(2)}\end{array}} \right.\)

Trừ (1) và (2) theo vế ta được: \(x – y = \ln (my + 1) – \ln (mx + 1)\) hay \(x + \ln (mx + 1) = y + \ln (my + 1)\) với \(m > 0\) thì hàm số \(f(x) = x + \ln (mx + 1)\) đồng biến trên tập xác định nên \(x + \ln (mx + 1) = y + \ln (my + 1) \Leftrightarrow x = y\)

Thay \(x = y\) vào (1) ta được \(x = \ln (mx + 1)\) hay \({e^x} = mx + 1(4)\)

Rõ ràng \(x = 0\) là 1 nghiệm của phương trình (4).

Với \(x \ne 0\) ta có \((4) \Leftrightarrow m = \frac{{{e^x} – 1}}{x}\)

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{e^x} – 1}}{x}\), ta có: Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) và \(g\prime (x) = \frac{{x{e^x} – {e^x} + 1}}{{{x^2}}}\) \(g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow x{e^x} – {e^x} + 1 = 0\)

Hàm số \(h(x) = x{e^x} – {e^x} + 1\) có \(h\prime (x) = x{e^x}\) nên \(h\prime (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Ta có bảng biến thiên của \(h(x)\) như sau:

Suy ra \(h(x) \ge 0,\forall x\) do đó \(g\prime (x) > 0,\forall x \ne 0\)

Bảng biến thiên của \(g(x)\):

Để phương trình \({e^x} – 1 = \ln {(mx + 1)^m}\) có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5 thì phương trình \(m = g(x)\) có duy nhất 1 nghiệm bé hơn hoặc bằng 5. Ta có \(g(5) = \frac{{{e^5} – 1}}{5} \approx 29,5\)

Dựa vào bảng biến thiên của \(g(x)\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < m \le g(5)}\\{m \ne 1}\end{array}} \right.\) do \(m \in {\mathbb{N}^*}\) nên có 28 giá trị thỏa mãn.