(Sở Vĩnh Phúc 2022) Xét các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} > 1\) và \({\log _{{x^2} + {y^2}}}\left( {2x + 4y} \right) \ge 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3x + y\) bằng

A. \(5 + 2\sqrt {10} \).

B. \(5 + 4\sqrt 5 \).

C. \(5 + 5\sqrt 2 \).

D. \(10 + 2\sqrt 5 \).

Lời giải:

Chọn C

Ta có \({x^2} + {y^2} > 1\).

Khi đó \({\log _{{x^2} + {y^2}}}\left( {2x + 4y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _{{x^2} + {y^2}}}\left( {2x + 4y} \right) \ge {\log _{{x^2} + {y^2}}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x + 4y \ge {x^2} + {y^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 + {y^2} – 4y + 4 \le 5 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} \le 5\).

Khi đó \(P = 3x + y \Leftrightarrow P = 3\left( {x – 1} \right) + \left( {y – 2} \right) + 5 \Leftrightarrow P – 5 = 3\left( {x – 1} \right) + \left( {y – 2} \right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: \({\left[ {3\left( {x – 1} \right) + \left( {y – 2} \right)} \right]^2} \le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2}} \right] = 50\)

\( \Rightarrow {\left( {P – 5} \right)^2} = {\left[ {3\left( {x – 1} \right) + \left( {y – 2} \right)} \right]^2} \le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2}} \right] = 50\).

Vậy \({\left( {P – 5} \right)^2} \le 50 \Leftrightarrow – 5\sqrt 2 \le P – 5 \le 5\sqrt 2 \Leftrightarrow 5 – 5\sqrt 2 \le P \le 5 + 5\sqrt 2 \)

Suy ra \(\max P = 5 + 5\sqrt 2 \).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2},\,\,y = 2 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).