(Sở Phú Thọ 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(2\left| {f\left( {x – 1 – 2\sqrt {x – 1} } \right)} \right| = 3\) là

A. \(12\).

B. \(5\).

C. \(8\).

D. \(4\).

Lời giải:

Chọn B

Xét phương trình \(2\left| {f\left( {x – 1 – 2\sqrt {x – 1} } \right)} \right| = 3\) \(\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = x – 1 – 2\sqrt {x – 1} \), với \(x \ge 1\).

Ta có \(t’ = 1 – \frac{1}{{\sqrt {x – 1} }};t’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 1 \Leftrightarrow x = 2\)

Bảng biến thiên của hàm \(t = t\left( x \right)\)

Suy ra với \(x \ge 1\) thì \(t \ge – 1\).

Khi đó, phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(2\left| {f\left( t \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {f\left( t \right)} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = \frac{3}{2}\\f\left( t \right) = – \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

*) Trường hợp 1: \(f\left( t \right) = \frac{3}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { – {x_0}; – 1} \right)\\t = b \in \left( { – 1;\,0} \right)\\t = c \in \left( {0;1} \right)\\t = d \in \left( {1;{x_0}} \right)\end{array} \right.\)

*) Trường hợp 2: \(f\left( t \right) = – \frac{3}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = e \in \left( { – \infty ; – {x_0}} \right)\\t = f \in \left( {{x_0}; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(t\) ta có

Với \(t = a \in \left( { – {x_0}; – 1} \right) \Rightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm.

Với \(t = b \in \left( { – 1;0} \right) \Rightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\).

Với \(t = c \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có 1 nghiệm \({x_3}\).

Với \(t = d \in \left( {1;{x_0}} \right) \Rightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có 1 nghiệm \({x_4}\).

Với \(t = e \in \left( { – \infty ; – {x_0}} \right) \Rightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm.

Với \(t = f \in \left( {{x_0}; + \infty } \right) \Rightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có 1 nghiệm \({x_5}\).

Các nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\), \({x_4}\), \({x_5}\) không trùng nhau.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm.