(THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \left( {{x^2} – 4} \right)\left( {x – 5} \right),\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} + 1} \right) – m} \right|\) có nhiều điểm cực trị nhất ?

A. \(6\).

B. \(8\).

C. \(5\).

D. \(7\).

Lời giải:

Chọn D

Xét \(k\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right) – m \Rightarrow k’\left( x \right) = 2xf’\left( {{x^2} + 1} \right)\).

\(k’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2xf’\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 1 = 2\\{x^2} + 1 = – 2\\{x^2} + 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = – 1\\x = – 2\\x = 2\end{array} \right.\).

Lại có \(f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {x – 5} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{5}{3}{x^3} – 2{x^2} + 20x + C\).

Vì \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{5}{3}{x^3} – 2{x^2} + 20x – \frac{{199}}{{12}}\).

Bảng biến thiên

Nhận xét:

Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) bằng số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục \(Ox\).

+) Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} + 1} \right) – m} \right|\) có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right) – m\) cắt \(Ox\) nhiều điểm nhất

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \frac{{995}}{{12}} – m < 0\\ – \frac{{461}}{6} – m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – \frac{{995}}{{12}} < m < – \frac{{461}}{6}.\)

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 82; – 81; \ldots ; – 76} \right\}\). Vậy có \(7\) giá trị nguyên của \(m\).