(Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho hàm số \(f(x) = {x^4} – 14{x^3} + 36{x^2} + (16 – m)x\) với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(g(x) = f(|x|)\) có 7 điểm cực trị?

A. 33.

B. 31.

C. 32.

D. 34.

Lời giải:

Xét hàm số: \(f(x) = {x^4} – 14{x^8} + 36{x^2} + (16 – m)x\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(f\prime (x) = 4{x^8} – 42{x^2} + 72x + 16 – m\)

Hàm số \(g(x) = f(|x|)\) có 7 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Hàm số \(f(x)\) có 3 điểm cực trị dương.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\prime (x) = 0\) có 3 nghiệm dương phân biệt.

Xét phương trình \(f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 42{x^2} + 72x + 16 = m\) (1)

Đặt \(h(x) = 4{x^8} – 42{x^2} + 72x + 16 \Rightarrow h\prime (x) = 12{x^2} – 84x + 72 \Rightarrow h\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 6}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow (1)\) có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = h(x)\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Dựa vào BBT ta có \(16 < m < 50\).

Vì \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ {17;18…49} \right\}\) nên có 33 số nguyên.