(THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f\prime (x) = {(x + 1)^2}\left( {{x^2} – 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {2{x^2} – 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

A. 17.

B. 16.

C. 18.

D. 19.

Lời giải:

Ta có \(g(x) = f\left( {2{x^2} – 12x + m} \right) \Rightarrow g\prime (x) = (4x – 12) \cdot f\prime \left( {2{x^2} – 12x + m} \right)\).

Suy ra \(g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow (4x – 12) \cdot f\prime \left( {2{x^2} – 12x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{f\prime \left( {2{x^2} – 12x + m} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{2{x^2} – 12x + m = 0}\\{2{x^2} – 12x + m = 4}\\{2{x^2} – 12x + m = – 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{2{x^2} – 12x + m = 0\left( 1 \right)}\\{2{x^2} – 12x + m – 4 = 0\left( 2 \right)}\\{2{x^2} – 12x + m + 1 = 0\left( 3 \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì phương trình (3) có nghiệm kép nên ta chỉ xét 2 phương trình (1) và (2).

Nhận xét: phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung.

Yêu cầu bài toán suy ra phương trình (1) va (2) đều có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 3.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\Delta _{(1)}^\prime > 0\\{2.3^2} – 12.3 + m \ne 0\\\Delta _{(2)}^\prime > 0\\{2.3^2} – 12.3 + m – 4 \ne 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}36 – 2m > 0\\m \ne 18\\36 – 2(m – 4) > 0\\m \ne 22\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 18\\m \ne 18\\m < 22\\m \ne 22\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m < 18} \right.} \right.} \right.\)\(\)

Vì \(m\) nguyên dương nên \(m \in \{ 1;2;3; \ldots ;17\} \).