Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\)đồng thời có 2 điểm cực trị là -1; 1. Biết Parabol\(\left( P \right):y = g(x) = m{x^2} + nx + p\) đi qua hai điểm cực trị của \(\left( C \right)\). Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {c;p} \right)\)thỏa mãn \(c + p \le 10\) sao cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = g(x)\) và đồ thị \(\left( C \right)\) có diện tích bằng 8 ?

B. \(3\).

C. \(5\).

D. \(6\).

Lời giải:

Do hai đồ thị đều đi qua các điểm cực trị của nên phương trình hoành độ chắc chắn đã có các nghiệm x=-1; x=1. Vì vậy ta có \(f(x) – g(x) = ({x^2} – 1)(x – k) = {x^3} – k{x^2} – x + k\)

TH1: Nếu \(k \ge 1\) thì

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ – 1}^k {\left| {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right|dx = } \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right)} dx – \int\limits_{ – 1}^k {\left( {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right)} dx\\ \Rightarrow S = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{k{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + kx} \right)} \right|_{ – 1}^1 – \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{k{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + kx} \right)} \right|_1^k\\ \Rightarrow S = \frac{{{k^4} – 6{k^2} + 24k – 3}}{{12}} = 8 \Rightarrow k = 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}f(x) – g(x) = {x^3} + (a – m){x^2} + (b – n)x + c – p = {x^3} – 3{x^2} – x + 3\\ \Rightarrow c – p = 3\end{array}\)

Kết hợp \(c + p \le 10\) ta được \(\left( {c;p} \right) = \left( {4;1} \right) = \left( {5;2} \right) = \left( {6;3} \right)\)

TH2: Nếu \(k \le – 1\) thì

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_k^1 {\left| {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right|dx = } \int\limits_k^{ – 1} {\left( {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right)} dx – \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right)} dx\\ \Rightarrow S = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{k{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + kx} \right)} \right|_k^{ – 1} – \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{k{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + kx} \right)} \right|_{ – 1}^1\\ \Rightarrow S = \frac{{{k^4} – 6{k^2} – 24k – 3}}{{12}} = 8 \Rightarrow k = – 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}f(x) – g(x) = {x^3} + (a – m){x^2} + (b – n)x + c – p = {x^3} + 3{x^2} – x – 3\\ \Rightarrow c – p = – 3\end{array}\)

Kết hợp \(c + p \le 10\) ta được \(\left( {p;c} \right) = \left( {4;1} \right) = \left( {5;2} \right) = \left( {6;3} \right)\)

TH3: nếu -1<k<1 thì

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right|dx = } \int\limits_{ – 1}^k {\left( {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right)} dx – \int\limits_k^1 {\left( {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right)} dx\\ \Rightarrow S = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{k{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + kx} \right)} \right|_{ – 1}^k – \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{k{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + kx} \right)} \right|_k^1\\ \Rightarrow S = \frac{{ – {k^4}}}{{12}} + {k^2} + \frac{1}{2} = 8(vn)\end{array}\)

Kết luận: có 6 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Lưu ý:

1) do tính đối xứng của đồ thị nên nhận thấy với mỗi số k thỏa mãn điều kiện thì –k cũng thỏa mãn điều kiện do đó TH2 có thể suy ra luôn k=-3.

2) có thể đánh giá \(S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – k{x^2} – x + k} \right|dx} \le \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {\left| {{x^3}} \right| + \left| k \right|\left| {{x^2}} \right| + \left| x \right| + \left| k \right|} \right)dx} < \int\limits_{ – 1}^1 {4dx} = 8\) nên TH3 không xảy ra