Một miếng đất dạng hình parabol chiều dài 18m, chiều rộng 12m. Người ta chia miếng đất bằng 2 đoạn thẳng song song \(AB,CD\) thành ba phần có diện tích bằng nhau . Tỉ số \(\frac{{AB}}{{C{\rm{D}}}}\) bằng:

A. \(\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\). B. \(\frac{3}{{1 + 2\sqrt 2 }}\). C. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\). D. \(\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}\). Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Parabol có dạng \(y = a{x^2}\), do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(\left( {6;18} \right) \Rightarrow a = \frac{1}{2}\). Diện tích miếng đất là: \(S = \int\limits_{ – 6}^6 {\left( {18 – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)d{\rm{x}}} = 144\). Để diện tích 3 phần bằng nhau thì diện tích mỗi phần là \(\frac{S}{3} = 48\). Với b, d > 0 Gọi \(B\left( {b;\frac{{{b^2}}}{2}} \right);D\left( {d;\frac{{{d^2}}}{2}} \right)\) khi đó \(\frac{{AB}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{b}{d}\)_, Ta có: \(\int\limits_0^b {\left( {\frac{{{b^2}}}{2} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)d{\rm{x}}} = 24 \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{{b^2}x}}{2} – \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_0^b = 24 \Rightarrow {b^3} = 72\) Tương tự ta có \(\int\limits_0^d {\left( {\frac{{{d^2}}}{2} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)d{\rm{x}}} = 48 \Rightarrow {d^3} = 144 \Rightarrow \frac{{AB}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).