89. Một khối cầu có bán kính là \(5\left( {dm} \right)\), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng \(3\left( {dm} \right)\) để làm một chiếc lu đựng nước . Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 

Câu hỏi: 89. Một khối cầu có bán kính là \(5\left( {dm} \right)\), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng \(3\left( {dm} \right)\) để làm một chiếc lu đựng nước . Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. 

A. \(\frac{{100}}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\).

B. \(\frac{{43}}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\).

C. \(41\pi \left( {d{m^3}} \right)\).

D. \(132\pi \left( {d{m^3}} \right)\).

Lời giải

Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \((C):{(x – 5)^2} + {y^2} = 25\). Ta thấy nếu cho nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\) quay quanh trục \(Ox\) ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\), trục \(Ox\), hai đường thẳng \(x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quay xung quanh trục \(Ox\) ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

Ta có \({(x – 5)^2} + {y^2} = 25 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {25 – {{(x – 5)}^2}} \).

\( \Rightarrow \) Nửa trên trục \(Ox\) của \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \sqrt {25 – {{(x – 5)}^2}}  = \sqrt {10x – {x^2}} \).

\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể tròn xoay khi cho \(\left( H \right)\) quay quanh \(Ox\) là:

\({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {10x – {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\pi \left( {5{x^2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{52\pi }}{3}\).

Thể tích khối cầu là: \({{\rm{V}}_2} = \frac{4}{3}\pi {.5^3} = \frac{{500\pi }}{3}\).

Thể tích cần tìm: \(V = {V_2} – 2{V_1} = \frac{{500\pi }}{3} – 2.\frac{{52\pi }}{3} = 132\pi \left( {d{m^3}} \right)\).

==================== Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân