Cho \(x,y > 0\) thỏa mãn \(\left( {x + 3y} \right)\left( {x – y – 1} \right) = \ln \frac{{2y}}{{x + y}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + \frac{2}{{\sqrt {xy} }}\).

Câu hỏi:
Cho \(x,y > 0\) thỏa mãn \(\left( {x + 3y} \right)\left( {x – y – 1} \right) = \ln \frac{{2y}}{{x + y}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + \frac{2}{{\sqrt {xy} }}\).

A. \({P_{\min }} = 3\sqrt 2 \). 

B. \({P_{\min }} = 3\). 

C. \({P_{\min }} = 2\sqrt 2 \) .  

D. \({P_{\min }} = \frac{9}{2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\left( {x + 3y} \right)\left( {x – y – 1} \right) = \ln \frac{{2y}}{{x + y}} \Leftrightarrow \ln \left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^2} – \left( {x + y} \right) = \ln \left( {2y} \right) + 4{y^2} – 2y\,\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \ln t + {t^2} – t\), với \(t > 0\).

Có: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{t} + 2t – 1 = \frac{{2{t^2} – t + 1}}{t} > 0,\) \(\forall t > 0\).

Suy ra hàm \(f\left( t \right)\) đồng biến, do đó phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {x + y} \right) = f\left( {2y} \right)\)\( \Leftrightarrow x + y = 2y\).

\( \Leftrightarrow x = y\). Khi đó \(P = x + \frac{2}{x}\mathop\ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {x.\frac{2}{x}}= 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow {P_{\min }} = 2\sqrt 2\Leftrightarrow x = y = \sqrt 2 \).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit