Câu hỏi:
Cho\(x,y\) là các số thực không âm và không đồng thời bằng \(0\) thỏa mãn:
\(2{\left( {1 + \sqrt {x + 2y} } \right)^2} + {\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2{\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right) + 2{\left( {x + y} \right)^2} + 4x + 4y\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left( {x + y + 1} \right)^2} – 6\sqrt {x + 2y} \) bằng
A. \( – 1\).
B. \( – 2\).
C. \(1\).
D. \( – 3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Từ giả thiết ta có
\(2 + 4\sqrt {x + 2y}+ {\log _2}\left( {x + 2y} \right) = 2{\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right) + 2\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 1 + 2\sqrt {x + 2y}+ \frac{1}{2}{\log _2}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 1 + 2\sqrt {x + 2y}+ {\log _2}\sqrt {x + 2y}= {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 2y}+ {\log _2}\left( {2\sqrt {x + 2y} } \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy + x} \right)\)
Xéthàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _2}t\) \(\left( {t > 0} \right)\), ta có \(f’\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t\ln 2}} > 0,{\rm{}}\forall t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó \( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 2y}= {\left( {x + y} \right)^2} + x\).
Tacó \(P = {\left( {x + y + 1} \right)^2} – 6\sqrt {x + 2y} \)\( = {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy + 2x + 2y – 6\sqrt {x + 2y} \)
\( = {\left( {x + y} \right)^2} + x + x + 2y + 1 – 6\sqrt {x + 2y} \).
\( \Rightarrow P = 2\sqrt {x + 2y}+ \left( {x + 2y} \right) + 1 – 6\sqrt {x + 2y}= \left( {x + 2y} \right) – 4\sqrt {x + 2y}+ 4 – 3 \ge- 3\)
Dấuxảy ra khi \(x = 0;y = 2\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \( – 3\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Để lại phản hồi