Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – \left( {m – 1} \right){x^2} – 4mx\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]\).

Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – \left( {m – 1} \right){x^2} – 4mx\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]\).

A. \(m \le \frac{1}{2}\).

B. \(m \in \mathbb{R}\).

C. \(\frac{1}{2} < m < 2\).

D. \(m \le 2\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT .

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y’ = {x^2} – 2(m – 1)x – 4m\).

Để hàm số đồng biến trên đoạn\(\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]\) thì \(y’ \ge 0\), \(\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)

\( \Leftrightarrow m \le \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{x}{2}\), \(\forall x \in \left[ {1;4} \right]\).

\( \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}x;\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)

Đặt \(g(x) = \frac{1}{2}x,\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)\( \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2} > 0\)

\( \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên đoạn\(\left[ {1;{\rm{ 4}}} \right]\)

Khi đó \(g(1) = \frac{1}{2}\), \(g(4) = 2\).

Từ đó ta có \(m \le \mathop {\min g(x)}\limits_{\left[ {1,4} \right]} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(m \le \frac{1}{2}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tính đơn điệu của hàm số