Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\). Điểm \({M_0}\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) di động trên \(\left( C \right)\), tiếp tuyến tại đó cắt hai tiệm cận lần lượt tại \(A,B\) và\({S_{\Delta IAB}} = 2\). Tìm giá trị \(I{M_0}^2\) sao cho \(\frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_{\Delta IAB}}}} = 1\)

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\). Điểm \({M_0}\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) di động trên \(\left( C \right)\), tiếp tuyến tại đó cắt hai tiệm cận lần lượt tại \(A,B\) và\({S_{\Delta IAB}} = 2\). Tìm giá trị \(I{M_0}^2\) sao cho \(\frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_{\Delta IAB}}}} = 1\)

A. \(2\).

B. \(\frac{{41}}{{20}}\).

C. \(\frac{{169}}{{60}}\).

D. \(\frac{{189}}{{60}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Nhận thấy kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị \(\left( C \right)\) theo \(\overrightarrow {IO} \). Khi đó hai tiệm cận của \(\left( C \right)\) là hai trục tọa độ.

Và hàm số của đồ thị \(\left( C \right)\) trở thành: \(y = \frac{\alpha }{x}\,\,\left( {\alpha > 0} \right) \Rightarrow y’ = – \frac{\alpha }{{{x^2}}}\).

Gọi \(d\) là tiếp tuyến tại \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow d:y = – \frac{\alpha }{{x_0^2}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{\alpha }{{{x_0}}} = – \frac{\alpha }{{x_0^2}}x + \frac{{2\alpha }}{{{x_0}}}\)

Suy ra:\(Ox \cap d = A\left( {2{x_0};0} \right)\) và \(Oy \cap d = B\left( {0;\frac{{2\alpha }}{{{x_0}}}} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = 2\alpha \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow \alpha = 1\)

Và \({S_2} = \int\limits_{{x_0}}^{2{x_0}} {\left( {\frac{1}{x}} \right)dx – \frac{1}{2}\left( {2{x_0} – {x_0}} \right)\frac{1}{{{x_0}}} = \frac{3}{{4x_0^2}} – \frac{1}{2}} \)

Theo giả thiết \(\frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{S_{\Delta IAB}}}} = 1 \Rightarrow {S_1} + {S_2} = {S_{\Delta IAB}} \Rightarrow \frac{3}{{x_0^2}} + \frac{3}{{4x_0^2}} – 1 = 2 \Rightarrow x_0^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow y_0^2 = \frac{4}{5}\)

Vậy \(I{M_0}^2 = x_0^2 + y_0^2 = \frac{{41}}{{20}}\).

=======