Đề bài: Chứng minh rằng:   $\sin x>\frac{2\pi}{2}>\tan \frac{x}{2},  \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:   $\sin x>\frac{2\pi}{2}>\tan \frac{x}{2},  \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$
Lời giải

Xét     $ f(x)=\frac{\sin x}{x},  g(x)=\frac{\tan \frac{x}{2}}{x},   x \in (0;\frac{\pi}{2}]$
 $f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\frac{\cos x(x-\tan x)}{x^2} và
 $g'(x)=\frac{\frac{x}{2\cos^2 \frac{x}{2}}-\tan \frac{x}{2}}{x^2}=\frac{x-\sin x}{2x^2.\cos^2 \frac{x}{2}}>0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$
 $\Rightarrow f(x)>f(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi}$ và  $ g(x) $\Rightarrow \sin x>\frac{2x}{\pi}>\tan \frac{x}{2},  \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác