Đề bài: Chứng minh rằng $2\sin x+\tan x > 3x$ với mọi $x\in(0;\frac{\pi}{2})$.

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng $2\sin x+\tan x > 3x$ với mọi $x\in(0;\frac{\pi}{2})$.
Lời giải

Xét hàm số $f(x) =2\sin x+\tan x-3x$ trên $D=[0;\frac{\pi}{2})$, ta có :
  $f^'(x) = 2\cos x+\frac{1}{\cos^2x}-3=\frac{2\cos^3x-3\cos^2x+1}{\cos^2x}$
              $
=\frac{(2\cos x+1)(\cos x-1)^2}{\cos^2x}>0, \forall x\in[0;\frac{\pi}{2})
$
    $\Leftrightarrow  $ hàm số đồng biến trên $D$.
Do đó:  $f(x)>f(0)=0, \forall x\in(0;\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow 2\sin x+\tan x>3x, \forall x\in(0;\frac{\pi}{2})$.(đpcm)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức lượng giác