Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to  [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$

Lời giải

Đề bài:
Cho $f,g:[0,1] \to  [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$
Lời giải

$\forall x \in [0,1]$,ta có: $0\leq f(x),g(x)\leq 1$
Suy ra: $\begin{cases}0\leq f(x).g(x)\leq f(x) \\  0\leq f(x).g(x)\leq g(x) \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}0\leq \int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx\leq \int\limits_{0}^{1}f(x)dx \\  0\leq \int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx\leq \int\limits_{0}^{1}g(x)dx \end{cases}$
Nhân $2$ vế BĐT này vế với vế,ta được:
$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác